O Curso de análise de 1821 termina com nove notas, uma espécie de apêndice com resultados que Cauchy não quis pôr no corpo do texto. A segunda, sobre as desigualdades, contém duas joias que qualquer estudante de olimpíada conhece.

A desigualdade

O teorema de Cauchy diz que, para quaisquer números reais $a_1, \ldots, a_n$ e $b_1, \ldots, b_n$,

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$

com igualdade só quando as duas listas são proporcionais.

A prova pela identidade de Lagrange

Cauchy partiu de uma identidade que já se encontrava em Lagrange. Para dois pares de números, é só abrir as contas:

$$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$

Em geral, a diferença entre os dois lados é a soma dos quadrados $(a_i b_j - a_j b_i)^2$ para todos os pares $i < j$. Uma soma de quadrados nunca é negativa, e só é zero quando todos os $a_i b_j - a_j b_i$ se anulam, isto é, quando as listas são proporcionais. Está provado.

Há outra prova, que se deve a Hermann Schwarz, de 1888. O polinômio em $t$

$$p(t) = \sum_i (a_i t + b_i)^2 = \Big(\sum a_i^2\Big) t^2 + 2\Big(\sum a_i b_i\Big) t + \sum b_i^2$$

nunca é negativo, porque é uma soma de quadrados. Logo o seu discriminante não pode ser positivo: $4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4 \sum a_i^2 \sum b_i^2 \le 0$, que é a desigualdade.

As médias, para a frente e para trás

Na mesma nota, Cauchy provou que a média geométrica de números positivos nunca passa da média aritmética:

$$\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$

A prova é uma indução em duas direções. Para $n = 2$, basta notar que

$$\left(\frac{x + y}{2}\right)^2 - xy = \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 \ge 0.$$

Para a frente: se vale para $n$ números, vale para $2n$. Divida os $2n$ números em duas metades; cada metade tem produto no máximo $A_1^n$ e $A_2^n$, onde $A_1$ e $A_2$ são as médias das metades. Pelo caso $n = 2$, $A_1 A_2 \le \left(\frac{A_1 + A_2}{2}\right)^2$, e $\frac{A_1 + A_2}{2}$ é a média de todos. Assim a desigualdade vale para 2, 4, 8, 16, …

Para trás: se vale para $N$ números, vale para qualquer $n < N$. Dados $x_1, \ldots, x_n$ com média $A$, junte $N - n$ cópias do próprio $A$. A média dos $N$ números continua sendo $A$, e a desigualdade para $N$ dá

$$x_1 \cdots x_n \cdot A^{N-n} \le A^N, \quad\text{logo}\quad x_1 \cdots x_n \le A^n.$$

Como todo $n$ fica abaixo de alguma potência de 2, o teorema vale para todo $n$.

Exercício: o máximo de 3x + 4y

Qual é o maior valor de $3x + 4y$ quando $x^2 + y^2 = 1$?

Pela desigualdade de Cauchy, $(3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25$, então $3x + 4y \le 5$. A igualdade exige $(x, y)$ proporcional a $(3, 4)$: $x = \frac{3}{5}$, $y = \frac{4}{5}$, e de fato $3 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

Exercício: um produto que não desce de 9

Mostre que $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$ para $a, b, c > 0$.

Aplique a desigualdade de Cauchy às listas $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ e $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}\right)$. O lado esquerdo vira $(1 + 1 + 1)^2 = 9$, e o direito é exatamente $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$. A igualdade vale quando $a = b = c$.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse (1821), nota II · J. Michael Steele, The Cauchy–Schwarz Master Class (2004) · Viktor Bunyakovsky, “Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies”, Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg (1859).

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