Escreva numa linha as potências de 2 e, embaixo, os expoentes:

$$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$

A linha de cima é uma progressão geométrica: cada número é o anterior vezes 2. A de baixo é uma progressão aritmética: cada número é o anterior mais 1. Agora tente multiplicar $16\times64$. Embaixo de 16 está o 4; embaixo de 64, o 6. Some: $4+6=10$. Em cima do 10 está o 1024. E de fato

$$16\times64=2^4\times2^6=2^{4+6}=2^{10}=1024.$$

Multiplicar em cima é somar embaixo. É a regra $2^a\times2^b=2^{a+b}$, e é toda a ideia dos logaritmos.

Uma ideia antiga

Arquimedes já tinha notado a regra no Contador de areia, por volta de 250 a.C., quando inventou um sistema para escrever números enormes. Em 1544, o alemão Michael Stifel, na Aritmética completa, pôs as duas progressões lado a lado, exatamente como acima, e escreveu que a soma na progressão aritmética corresponde à multiplicação na geométrica, a subtração à divisão, e a divisão por 2 à extração da raiz quadrada.

Em cima (geométrica) Embaixo (aritmética) Exemplo
multiplicar somar $32\times8=256$ porque $5+3=8$
dividir subtrair $1024\div16=64$ porque $10-4=6$
elevar ao quadrado dobrar $32^2=1024$ porque $2\times5=10$
tirar a raiz quadrada dividir por 2 $\sqrt{256}=16$ porque $8\div2=4$

Os buracos

Se a ideia era tão antiga, por que ninguém a usou antes de Napier? Porque a tabela tem buracos. Ela serve para $16\times64$, mas não para $17\times63$: nem 17 nem 63 aparecem na linha de cima. Entre 16 e 32 não há nada, e entre 512 e 1024 o buraco é ainda maior. Uma tabela útil precisa ter, na linha de cima, praticamente todos os números.

A solução de Napier foi trocar o 2 por um número muito próximo de 1. As potências de 2 crescem depressa e deixam buracos enormes; as potências de $1{,}0001$, por exemplo, crescem devagarinho:

$$1{,}0001^{1}=1{,}0001,\quad1{,}0001^{2}=1{,}00020001,\quad\dots,\quad1{,}0001^{6932}\approx2{,}0000.$$

Com um passo tão pequeno, a linha de cima passa por perto de qualquer número, e a de baixo diz o seu “expoente”. Napier usou um número ainda mais próximo de 1, $1-10^{-7}=0{,}9999999$, e calculou durante anos as suas potências. O resultado foi a primeira tábua de logaritmos.

Exercício: use a tabela das potências de 2 para calcular 64 × 256 e 4096 ÷ 32.

$64=2^6$ e $256=2^8$, então $64\times256=2^{6+8}=2^{14}=16\,384$. Para a divisão, $4096=2^{12}$ e $32=2^5$, então $4096\div32=2^{12-5}=2^7=128$.

Exercício: na progressão das potências de 1,0001, qual é aproximadamente o expoente de 3, sabendo que o de 2 é 6932?

Não precisamos calcular de novo. Como $1{,}0001^{6932}\approx2$, o expoente de qualquer número é proporcional ao seu logaritmo: o de 3 é cerca de $6932\times\frac{\ln3}{\ln2}=6932\times1{,}585\approx10\,987$. De fato, $1{,}0001^{10\,987}\approx3{,}000$. A razão entre os expoentes não depende do passo escolhido; é o que garante que todas as tábuas de logaritmos são, no fundo, a mesma tábua com escalas diferentes.

Fontes: John Napier, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Edimburgo, 1614) · Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg, 1544) · Julian Havil, John Napier: Life, Logarithms, and Legacy (2014).

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