Os livros de Arquimedes apresentam demonstrações perfeitas, mas não dizem como ele chegou aos resultados. Durante séculos, os matemáticos suspeitaram que ele tinha um método secreto. Tinham razão, e o método foi encontrado no lugar mais improvável.

A carta a Eratóstenes

Algumas coisas ficaram claras para mim primeiro por um método mecânico, e depois tiveram de ser demonstradas pela geometria, porque a investigação por esse método não fornece uma demonstração. Mas é mais fácil encontrar a demonstração depois de adquirir, pelo método, algum conhecimento das questões do que sem conhecimento nenhum.

— Arquimedes, O Método, carta a Eratóstenes

O tratado que chamamos O Método dos teoremas mecânicos é uma carta ao geógrafo Eratóstenes de Cirene. Nela, Arquimedes revela o seu procedimento: imaginar as figuras compostas de infinitas fatias finíssimas e pesá-las numa alavanca, comparando fatia por fatia com as de uma figura conhecida.

Pesando a esfera

O exemplo mais bonito é o da esfera. Ponha a esfera de raio $r$, um cone e um cilindro, ambos de raio da base $2r$ e altura $2r$, com o eixo sobre a haste de uma alavanca. Corte tudo por um plano perpendicular à haste, à distância $x$ do apoio. Com um pouco de geometria, a fatia da esfera tem área $\pi\left(2rx - x^2\right)$, a do cone $\pi x^2$ e a do cilindro $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. Então

$$\text{fatia da esfera} + \text{fatia do cone} = \pi \cdot 2rx.$$

Arquimedes leva as fatias da esfera e do cone para a outra ponta da alavanca, à distância $2r$ do apoio, e deixa a fatia do cilindro onde está, à distância $x$. Os momentos são iguais:

$$2r \cdot \pi \cdot 2rx = x \cdot 4\pi r^2.$$

Como isso vale para todas as fatias, a esfera e o cone inteiros, pendurados à distância $2r$, equilibram o cilindro inteiro, cujo centro de gravidade está à distância $r$. Pela lei da alavanca:

$$2r\,(V_{\text{esfera}} + V_{\text{cone}}) = r\,V_{\text{cilindro}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{esfera}} = \frac{1}{2}\cdot 8\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$

É exatamente o volume que ele depois demonstraria com rigor em A esfera e o cilindro. Somar infinitas fatias é a ideia central do cálculo integral, dezoito séculos antes de Newton e Leibniz.

O livro de rezas

Por volta do ano 950, um escriba de Constantinopla copiou várias obras de Arquimedes num pergaminho. Em 1229, um monge precisou de pergaminho para um livro de orações: desmontou o manuscrito, raspou a tinta, cortou as folhas ao meio, girou-as e escreveu as rezas por cima. Um manuscrito reutilizado assim se chama palimpsesto.

Em 1906, o filólogo dinamarquês Johan Ludvig Heiberg examinou o livro de rezas numa biblioteca de Constantinopla e, com uma lupa, leu por baixo das orações o texto de Arquimedes. Era a única cópia conhecida do Método e a única cópia grega de Sobre os corpos flutuantes.

Uma folha aberta do palimpsesto de Arquimedes. O texto de orações do século XIII corre na horizontal; por baixo, quase apagado, está o texto de Arquimedes copiado no século X.
Uma folha aberta do palimpsesto de Arquimedes. O texto de orações do século XIII corre na horizontal; por baixo, quase apagado, está o texto de Arquimedes copiado no século X.The Walters Art Museum · Wikimedia Commons · CC BY 3.0

O livro desapareceu de novo no começo do século XX e reapareceu em 1998, num leilão em Nova York, muito danificado por mofo e por falsas iluminuras pintadas por cima. Foi arrematado por um comprador anônimo por 2 milhões de dólares e depositado no Walters Art Museum, em Baltimore. De 1999 a 2008, uma equipe de cientistas e filólogos usou imagens em várias faixas de luz, ultravioleta e até raios X de um acelerador de partículas para ler o texto apagado. Encontrou trechos que Heiberg não tinha conseguido ler.

Exercício: as fatias

Verifique a soma das fatias. Coloque a esfera com o polo em $x = 0$ e o centro em $x = r$. Mostre que o raio $\rho$ da fatia da esfera em $x$ satisfaz $\rho^2 = 2rx - x^2$, e conclua que a fatia da esfera mais a do cone (de raio $x$) somam $\pi \cdot 2rx$.

A fatia está à distância $|x - r|$ do centro, e pelo teorema de Pitágoras $\rho^2 = r^2 - (x - r)^2 = 2rx - x^2$. O cone tem vértice no apoio e se abre com inclinação 1, então a sua fatia tem raio $x$. Somando as áreas: $\pi(2rx - x^2) + \pi x^2 = 2\pi r x$.

Exercício: a balança final

Com $V_{\text{cilindro}} = \pi (2r)^2 \cdot 2r = 8\pi r^3$ e $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 \cdot 2r = \frac{8}{3}\pi r^3$, resolva $2r\,(V_{\text{esfera}} + V_{\text{cone}}) = r\,V_{\text{cilindro}}$.

Dividindo por $r$: $2\,(V_{\text{esfera}} + \frac{8}{3}\pi r^3) = 8\pi r^3$, então $V_{\text{esfera}} = 4\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Fontes: Arquimedes, O Método, proposição 2 · Johan Ludvig Heiberg, “Eine neue Archimedeshandschrift”, Hermes 42 (1907) · Reviel Netz e William Noel, The Archimedes Codex (2007) · Thomas L. Heath, The Method of Archimedes (1912) · William Noel, The Archimedes Palimpsest Project, The Walters Art Museum.

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