Pergunte a uma turma quanto é $(a+b)^2$ e uma parte responderá $a^2 + b^2$. Pergunte quanto é $\sqrt{9 + 16}$ e alguém dirá $3 + 4 = 7$. Esses erros são tão comuns, e tão parecidos de uma escola para outra, que não podem ser acaso. Eles seguem uma regra.

A regra que se estica demais

Em 1982, a pesquisadora americana Marilyn Matz estudou os erros de álgebra de estudantes do ensino médio e propôs que muitos deles vêm de regras falsas (malrules) construídas a partir de regras verdadeiras. A mais produtiva de todas é a distributiva:

$$a(b + c) = ab + ac.$$

Ela é verdadeira, aparece cedo e é usada o tempo todo. O aluno aprende que “o que está fora entra em cada parcela” e, sem ninguém ter dito o contrário, estende o gesto para tudo que tem cara de operação aplicada a uma soma:

$$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \operatorname{sen}(a+b) \overset{?}{=} \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b.$$

Todas são falsas. Todas têm a mesma forma da distributiva. Do ponto de vista da notação, o aluno está lendo a escrita muito bem: está vendo um padrão visual e aplicando-o com coerência. O que falta é saber que a forma não basta: a distributiva vale para a multiplicação por causa do que a multiplicação é, e não por causa do desenho dos parênteses.

O contraexemplo como lupa

A ferramenta para desmontar uma regra falsa é o contraexemplo: um único caso em que ela falha. Com $a = 3$ e $b = 4$, $(a+b)^2 = 49$ e $a^2 + b^2 = 25$. Pronto: a regra está morta. Uma regra verdadeira, como $(ab)^2 = a^2 b^2$, sobrevive a todos os testes; a figura acima permite tentar.

Testar com números pequenos é um hábito de leitura, não só de verificação. Quem escreve uma igualdade nova e substitui $a = 1$, $b = 2$ antes de seguir em frente pega a maioria dos próprios erros. Mas o teste tem um limite que o capítulo 4 mostrou: exemplos derrubam uma regra, mas não a provam.

O cancelamento que dá certo por acaso

Há um erro famoso que, às vezes, acerta:

$$\frac{16}{64} = \frac{1\not{6}}{\not{6}4} = \frac{1}{4}.$$

“Cortar” o $6$ de cima com o $6$ de baixo não tem sentido nenhum: o $6$ de $16$ vale seis unidades e o de $64$ vale sessenta. Mas o resultado está certo! Com dois algarismos, só há quatro frações assim (sem contar as triviais como $\frac{11}{11}$): $\frac{16}{64}$, $\frac{19}{95}$, $\frac{26}{65}$ e $\frac{49}{98}$. Elas são raras o bastante para serem curiosidades, e perigosas o bastante para confirmar, de vez em quando, uma regra falsa.

Exercício: quando o sonho é verdade

Para quais números reais $a$ e $b$ vale $(a+b)^2 = a^2 + b^2$?

Desenvolvendo, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. A igualdade pede $2ab = 0$, isto é, $a = 0$ ou $b = 0$. A regra falsa acerta exatamente quando uma das parcelas é zero, e é por isso que ela às vezes sobrevive a exemplos mal escolhidos.

Exercício: o cancelamento de 26/65

Confira que $\frac{26}{65} = \frac{2}{5}$ e explique por que “cortar o 6” não é uma regra.

$\frac{26}{65}$: dividindo por $13$, $\frac{2}{5}$. Certo. Mas $\frac{36}{63}$, cortando o $6$ e o $3$ do mesmo jeito, daria $\frac{3}{3} = 1$, e $\frac{36}{63} = \frac{4}{7}$. A coincidência de $\frac{26}{65}$ vem da equação $\frac{10a + b}{10b + c} = \frac{a}{c}$, que só tem poucas soluções com algarismos; não de alguma propriedade dos algarismos repetidos.

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