Copiar um ângulo e dividi-lo ao meio são construções clássicas. Dividi-lo em três partes iguais, porém, desafiou matemáticos por mais de dois mil anos.

Quem descobriu

As duas construções estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.9 divide um ângulo ao meio (a bissetriz) e a I.23 copia um ângulo dado sobre outra reta. Já a trissecção do ângulo com régua e compasso — dividir qualquer ângulo em três partes iguais — foi provada impossível em 1837 pelo francês Pierre Wantzel, então com pouco mais de 20 anos.

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

A trissecção era um dos três problemas clássicos gregos, ao lado da duplicação do cubo e da quadratura do círculo. Os gregos conseguiam resolvê-la usando curvas especiais ou uma régua com marcas — Arquimedes deu uma solução assim —, mas nunca só com régua sem marcas e compasso.

Arquimedes, representação artística posterior.
Arquimedes, representação artística posterior.Domenico Fetti · Wikimedia Commons · Domínio público
Uma bissetriz divide a abertura em dois ângulos iguais: comprimentos iguais ajudam a construir a comparação.
Uma bissetriz divide a abertura em dois ângulos iguais: comprimentos iguais ajudam a construir a comparação.Ilustração didática original do blog.

Wantzel transformou o problema em álgebra: cada construção com régua e compasso equivale a resolver equações de grau 2, e trissectar um ângulo de 60° exige uma equação de grau 3 que não se reduz a elas. Ainda hoje aparecem “trissecções” enviadas a revistas por amadores; todas têm algum erro.

No dia a dia

  • Suta de carpinteiro. É um “copiador de ângulos”: copia a inclinação de um telhado ou de uma escada para a peça a ser cortada — a proposição I.23 na prática.
  • Meia-esquadria. Para fechar um canto de 90° em molduras e rodapés, cada peça é cortada a 45°: a bissetriz do ângulo reto.
  • Dobradura. Dobrar um papel levando um lado sobre o outro marca a bissetriz sem instrumento nenhum.
  • Bilhar. A bola sai da tabela fazendo com ela o mesmo ângulo com que chegou.

Fontes: Elementos, proposição I.9 · Elementos, proposição I.23 · Wantzel (MacTutor).

Teoria e construções

PostuladoCongruência de ângulos

A congruência de ângulos (símbolo $\equiv$) é uma noção primitiva que satisfaz:

  1. Reflexiva: $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$.
  2. Simétrica: se $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$, então $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$.
  3. Transitiva: se $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ e $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$, então $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$.
  4. Transporte de ângulos: dados um ângulo $A\hat{O}B$ e uma semirreta $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ de um plano, existe nesse plano, em cada um dos semiplanos que a reta $O^{\prime}A^{\prime}$ determina, uma única semirreta $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$ que forma com $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ um ângulo $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$ congruente a $A\hat{O}B$.

Comparação. Dados $\widehat{ab}$ e $\widehat{cd}$, transportamos $\widehat{cd}$ para o semiplano de origem na reta de $a$ que contém $b$, obtendo $\widehat{ad^{\prime}} \equiv \widehat{cd}$. Se $d^{\prime}$ é interna a $\widehat{ab}$, dizemos que $\widehat{ab} > \widehat{cd}$; se $d^{\prime}$ coincide com $b$, $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$; se $d^{\prime}$ é externa a $\widehat{ab}$, $\widehat{ab} < \widehat{cd}$.

Adição de ângulos e bissetriz

DefiniçãoSoma de ângulos

Se a semirreta $\overrightarrow{Ob}$ é interna ao ângulo $a\hat{O}c$, então $a\hat{O}c$ é a soma dos ângulos $a\hat{O}b$ e $b\hat{O}c$:

$$a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c.$$

Em geral, dados $\widehat{ab}$ e $\widehat{cd}$, se existem $\widehat{rs} \equiv \widehat{ab}$ e $\widehat{st} \equiv \widehat{cd}$ com $s$ interna a $\widehat{rt}$, dizemos que $\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd}$. O ângulo que é soma de $n$ ângulos congruentes a $\widehat{ab}$, se existir, é o múltiplo de $\widehat{ab}$ segundo $n$; e $\widehat{ab}$ é seu submúltiplo.

DefiniçãoBissetriz

Uma semirreta $\overrightarrow{Oc}$ interna a um ângulo $a\hat{O}b$ é bissetriz desse ângulo se, e somente se, $a\hat{O}c \equiv c\hat{O}b$. A bissetriz tem origem no vértice e divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Arraste $b$ (dourado) para ver a soma $a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c$. Quando as duas partes ficam iguais, $\overrightarrow{Ob}$ é a bissetriz. Arraste também $c$.

TeoremaUnicidade da bissetriz

Um ângulo tem uma única bissetriz.

Demonstração (por absurdo)

  1. Suponha que $\overrightarrow{Ox}$ e $\overrightarrow{Oy}$, distintas, sejam bissetrizes de $a\hat{O}b$: $a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b$ (1) e $a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b$ (2).
  2. Caso 1: $\overrightarrow{Ox}$ é interna a $a\hat{O}y$. Então $a\hat{O}y > a\hat{O}x$; e como $\overrightarrow{Oy}$ é interna a $x\hat{O}b$, $x\hat{O}b > y\hat{O}b$. Logo $a\hat{O}y > a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b > y\hat{O}b$ — absurdo por (2).
  3. Caso 2: $\overrightarrow{Oy}$ é interna a $a\hat{O}x$. Analogamente, $a\hat{O}x > a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b > x\hat{O}b$ — absurdo por (1).
  4. Portanto a bissetriz é única. A sua existência será provada no capítulo 6, com a construção por régua e compasso.