Se os erros de medida são aleatórios, como eles se distribuem? Na Theoria motus, Gauss partiu da ideia de que a média é a melhor estimativa e chegou à forma da curva dos erros:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$

em que $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. É a curva normal, ou sino de Gauss: alta no meio, simétrica, e cada vez mais baixa longe da média. Ela aparece em toda parte, das alturas das pessoas aos erros de uma máquina.

Uma forma bonita de ver o sino nascer é a máquina de Galton, inventada por Francis Galton em 1873. Bolinhas caem por uma grade de pinos e, em cada pino, vão para a esquerda ou para a direita com a mesma chance. A maioria termina perto do meio, poucas chegam às pontas:

Solte bolinhas e veja o sino de Gauss aparecer. Com poucas bolinhas é tudo bagunçado; com centenas, a forma surge sozinha.

Para uma curva normal, vale a regra 68-95-99,7:

  • cerca de 68% dos valores ficam a até 1 desvio padrão da média;
  • cerca de 95% ficam a até 2 desvios padrão;
  • cerca de 99,7% ficam a até 3 desvios padrão.

Pouco depois, o belga Adolphe Quételet usou a curva normal para estudar as pessoas: altura, peso, nascimentos, mortes e renda seguiam, aproximadamente, o sino de Gauss.

A nota de 10 marcos alemães (1989–2001): Gauss, a curva normal e a fórmula, ao lado de prédios de Göttingen.
A nota de 10 marcos alemães (1989–2001): Gauss, a curva normal e a fórmula, ao lado de prédios de Göttingen.Acervo Euler’s Eyes

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