Regra de sinais

Veja por que a operação importa

As fichas representam soma: 3 positivas e 5 negativas deixam saldo −2. A regra de “sinais iguais dão positivo” se refere à multiplicação e à divisão de valores não nulos, não à soma.

Em telas pequenas, deslize o gráfico na horizontal para ler os detalhes.

Compare a soma de fichas com os produtos da tabela de sinais.

Se um fator da multiplicação é zero, o resultado é zero. Zero dividido por um número não nulo também é zero.

Comparar soma e produto

(−4) + (−2) = −6; (−4) × (−2) = 8. O tipo de operação determina a estratégia.

Neste post, vamos falar da regra de sinais, para isto, os número inteiros são fundamentais. Para regra de sinais, vamos homenagear Diophanti de Alexandria.

Apesar da pouca referência histórica, estes relatos datam de cerca do século III d.C. e foram escritos por um matemático grego chamado Diophanti de Alexandria. Diofanto foi um dos primeiros matemáticos a escrever sobre a regra de sinais. Outros assuntos escritos por Diophanti foi:

Aritmética
Números Poligonais
Prismas.

A regra de sinais aparece no livro de Aritmética, porém sem uma justificativa formal da regra. Para tal, usou a regra em cálculos intermediários e não aceitava as raízes negativas na solução das equações quadráticas.

Regra dos sinais

Dito isto, vamos mostrar como foi construída a regra de sinais de forma visual, por Diophanti de Alexandria para propor a regra de sinais.

Quadrado de lado b dividido em segmentos a e b menos a. — As quatro áreas somam b².

Ao somarmos as áreas parciais obtemos:

$$ \begin{aligned} (b-a)(b-a) + ba - aa + ab - aa + aa + &= bb\\ (b-a)(b-a) + ba - aa + ab &= bb\\ (b-a)(b-a) &= bb - ba - ab + aa \end{aligned} $$

Multiplicação dos Termos	$$\Rightarrow$$	Regra dos Sinais
$$(+b) \times (+b) \quad = \quad + (bb)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (+) $$
$$(+b) \times (-a) \quad = \quad - (ba)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (-) $$
$$(-a) \times (+b) \quad = \quad - (ab)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (-) $$
$$(-a) \times (-a) \quad = \quad + (aa)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (+) $$

Quadrados notáveis

Como no post anterior falamos de potenciação, podemos propor o que na escola chamamos de quadrados notáveis. Para tal, vamos usar a regra de sinais.

Quadrado notável para a + b

Quadrado dividido em áreas a ao quadrado, ab, ab e b ao quadrado. — A soma das áreas explica o quadrado de a mais b.

$$ \begin{aligned} (a+b)(a+b)&= aa+2ab+bb\\ (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \end{aligned} $$

$$(a+b)^2 = \text{"Quadrado do primeiro termo"} + 2 \times \text{ "primeiro termo" }\times \text{ "segundo termo" } + \text{"Quadrado do segundo termo"}$$

Exemplo (a+b)

Para ilustração do exemplo, vamos ver se vale a propriedade de produto notável. Seja $a=2$ e $b=3$.

$$ \begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\ (2+3)^2 &= 2^2 + 2~.~2~.~3 + 3^2\\ (5)^2 &= 4 + 12 + 9 = 25\\ \end{aligned} $$

Quadrado notável para a - b

Da regra de sinais obtemos o quadrado notável para $(a-b)$

$$ \begin{aligned} (a-b)(a-b)&= aa-2ab+bb\\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \end{aligned} $$

$$(a-b)^2 = \text{"Quadrado do primeiro termo"} - 2 \times \text{ "primeiro termo" }\times \text{ "segundo termo" } + \text{"Quadrado do segundo termo"}$$

Exemplo (a-b)

Para ilustração do exemplo, vamos ver se vale a propriedade de produto notável. Seja $a=5$ e $b=2$.

$$ \begin{aligned} (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2\\ (5-2)^2 &= 5^2 - 2~.~5~.~2 + 2^2\\ (3)^2 &= 25 - 20 + 4 = 9\\ \end{aligned} $$

Regra de sinais para potenciação

A regra de sinais funciona bem para potenciação, por exemplo:

Tipo de Expoente	Potência	Regra de Sinais	Resultado
Par	$(+2)^1 ~.~ (+2)^1 = (\underbrace{+2~.~+2}_{(+)~.~(+) = (+)})^2 = (+4)^2$	$(+)^{\text{par}} = +$	$16 $
Par	$(-2)^1 ~.~ (+2)^1 = (\underbrace{-2~.~+2}_{(-)~.~(+) = (-)})^2 = (-4)^2$	$(-)^{\text{par}} = +$	$16 $
Ímpar	$(+2)^1 ~.~ (+2)^2 = (\underbrace{+2~.~+2}_{(+)~.~(+) = (+)})^3 = (+4)^3$	$(+)^{\text{ímpar}} = +$	$64 $
Ímpar	$(-2)^1 ~.~ (+2)^2 = (\underbrace{-2~.~+2}_{(-)~.~(+) = (-)})^3 = (-4)^3$	$(-)^{\text{ímpar}} = -$	$-64$

Regulae quatuor

As quatro regras (regulae quatuor) foi proposta em 1577 por Guillaume Gosselin no seu livro De Arte Magma. Ela foi aplicada a regra dos sinais de + (mais) e - (menos), que em sua obra foi denotada por P (Piú) e M (Meno).

A regra dos sinais, diferentemente do apresentados pelos gregos, foi apresentada para o caso de divisão.

$$\frac{P}{P}=P$$

$$\frac{M}{M}=P$$

$$\frac{M}{P}=M$$

$$\frac{P}{M}=M$$

Que hoje conhecemos como:

$$\frac{(+)}{(+)}=(+)$$

$$\frac{(-)}{(-)}=(+)$$

$$\frac{(-)}{(+)}=(-)$$

$$\frac{(+)}{(-)}=(-)$$

Por enquanto é só para este assunto. Aguardem os próximos posts.

Euler's Eyes