Introdução a Teoria do Conjuntos

Em teoria dos conjuntos tem duas alas de estudo, os axiomáticos e da teoria ingênua. A ala axiomática conta com uma compreensão informal dos conjuntos como coleções de objetos. Já a ingênua, bem trabalhada no final do século XIX, trata os conjuntos como forma demonstráveis com proposições, lemas, teoremas e corolários. A teoria dos conjuntos é muito importante na matemática, principalmente para a teoria moderna como:

• números
• relações
• funções

Axioma da especificação

Os axiomas são foram fundamentais para matemática. Porém, quando supomos que operações quaisquer em conjuntos podem levar a paradoxos como o paradoxo de Russell. A teoria axiomática foi fundamental para determinar quais operações são permitidas para conjuntos.

O axioma da especificação diz que se um conjunto $A$ existe e conseguimos descrever através de uma propriedade elementos deste conjunto, então existe um conjunto $B$, subconjunto de $A,$ que contém estes elementos.

Axioma da Especificação: Seja $A$ um conjunto e $p(x)$ uma proposição em $x$ e deve ser expressos em função de quantificadores e variáveis como:

• quantificadores: $\wedge, \vee$ dentre outros
• variáveis: $x, y, A, B, dots$

Então existe um conjunto que gera uma consistência de todos os elementos $x$ de $A$ que tornam $p(x)$ verdadeira. Mais especificamente

$$\\{x \in A; ~p(x) ~\text{é verdadeira}\\}$$

Esse axioma é muito importante para evitarmos paradoxos do tipo semântico como por exemplo o paradoxo de Richard. O conjunto descrito no paradoxo de Richard não pode ser contruído à partir do axioma da especificação, pois a propriedade do axioma está restrita a operadores lógicos e alguns quantificadores.

Paradoxo de Russell

Outra aplica¸c˜ao mais interessante deste axioma ´e que ele garante que n˜ao existe um conjunto que contenha todos os conjuntos. . Assim, chegamos a conclus˜ao que B /∈ U, ou seja, n˜ao existe um conjunto universo. O argumento que levou a essa conclus˜ao chama-se o paradoxo de Russel,

O paradoxo de Russell é muito importante para entedermos algumas propriedade da teoria de conjuntos. Dela podemos aplicar o axioma da especificação e mostrar que não existe um conjunto que contenha todos os conjuntos. Observe o argumento de Russell.

Paradoxo de Russell: Em uma certa cidade existe um barbeiro que só faz a barba nos homens que não barbeiam a si próprios. Quem faz a barba do barbeiro?

Como respondemos isso?

Suponhamos que exista o conjunto cujos elementos sejam todos os conjuntos, isto é, o conjunto universo.

Seja $U$ o conjunto universo.

Logo, do axioma da especificação, podemos construir o conjunto:

O objetivo é verificar se$B\in U.$ Com isso, temos duas possibilidades:

• $B\in B$ ou
• $B\notin B$

1. Se $B\in B$, pela especificação de $B,$ temos que $B\notin B$
2. Se $B\notin B$, então $B\in B$

Portanto, temos uma contradição.

Construção dos Conjuntos

Do que foi visto até agora, o axioma da especificação é muito importante para teoria dos conjuntos, poisdela podemos construir vários conjuntos importantes como:

• vazio
• união
• intersecção

Conjunto Vazio

Definição: o conjunto é dito vazio, denotado por $\emptyset$, o conjunto que não possui nenhum elemento, em que a existência deste conjunto é garantida pelo axioma da especificação.

De fato, dado qualquer conjunto $A,$ temos que

$$\emptyset = \\{x \in A; x \neq x\\}.$$

Proposição Para todo conjunto $A,$ temos $\emptyset \subseteq A.$

Demonstração:

Já sabemos que ou $\emptyset \subseteq A$ ou $\emptyset \cancel{\subseteq} A.$, e que tais possibilidades são mutuamente excludentes.

Assim, basta mostrarmos que não é possível termos $\emptyset \cancel{\subseteq} A.$

Para que $\emptyset \cancel{\subseteq} A$ ocorra, deve existir um elemento $x$ tal que $x \in \emptyset$ e $x \notin A.$ Mas, como $\meptyset$ não tem elementos, um tal $x$ não pode existir.

Logo, a possibilidade $\emptyset \cancel{\subseteq} A$ não ocorre, e resta somente a possibilidade $\emptyset \subseteq A$, que deve ser verdadeira.

$\square$

União

Definição: Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer, definimos união de $A$ e $B,$ denotada por $A\cup B,$ o conjunto formado pelos elementos $x$ tais que $x$ está em um dos dois conjuntos $A$ ou $B.$ Mais especificamente,

$$A \cup B = \\{x; ~x \in A \vee x \in B\\}$$

Intersecção

Definição: Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer, a intersecção de $A$ e $B,$ denotada por $A\cap B,$ é o conjunto formado pelos elementos $x$ tais que $x$ está em ambos os conjuntos $A$ e $B.$

$$A \cap B = \\{x; ~ x \in A \wedge x \in B\\}$$

Resultados importantes

Eu, Euler como matemático, preciso garantir a existênica dos conjuntos $A\cap B$ e $A\cup B$ e estes conjuntos são garantidos pelo axioma da especificação. Das definições, derivamos as seguintes equivalências lógicas:

A seguir apresentamos alguns resultados importantes.

Teorema 1 Sejam $A$ e $B$ conjuntos quaisquer. Então:

• a) $A \subseteq A \cup B \text{ e } B \subseteq A \cup B$
• b) $A \cap B \subseteq A \text{ e } A \cap B \subseteq B$
• c) $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \text{ e } A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$
• d) $A \cup (B \cap A) = A \text{ e } A \cap (B \cup A) = A.$

Demonstração:

(a) Por definição, este item é equivalente a mostrar que

De fato, este resultado é equivalente a

Esta sentença é uma tautologia, pois é uma implicação do tipo

(b) é construída de forma análoga, basta alterar alguns pontos. Fica como exercício 😂😂😂

(c) Deste item vou mostrar apenas $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B$ o outro fica como exercício 😂😂😂

Note que vale a tautologia $(p \Leftrightarrow q) \quad \Leftrightarrow \quad (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p),$

Antes mostrar o resultado, vale lembrar que o $\Leftrightarrow$ é um se, e somente se, em que que você tem que mostrar a ida e volta, ou seja:

• ida: $\Rightarrow$
• volta: $\Leftarrow$

Ida $(\Rightarrow)$ $A \subseteq B,$ então $A \cup B = B$

Note que por igualdade de conjuntos, temos que mostrar que $A \cup B \subseteq B$ e $B \subseteq A \cup B.$

A segunda inclusão segue de (a).

Para a primeira, seja $x \in A \cup B,$ então, $x \in A \wedge x \in B.$

Se $x \in A,$ por hipótese temos que $A \subseteq B,$ desta forma $x \in B.$

Portanto, $x \in B,$ em ambos os casos, como queríamos.

Volta $(\Leftarrow)$ Se $A \cup B = B,$ então, temos que:

Como $A \subseteq A \cup B = B,$ temos claramente que $A \subseteq B.$

(d) Exercício 😂😂😂

$\square$

Conjuntos Disjuntos: Dizemos que dois conjuntos $A$ e $B$ são disjuntos se eles não possuem elementos em comum, ou seja, se $A \cap B = \emptyset.$

Teorema 2: Sejam $X, A$ e $B$ conjuntos. Então temos:

• (a) $\emptyset \subseteq A,\quad A \cup \emptyset = A$ e $A \cap \emptyset = \emptyset$
• (b)
  • $X \subseteq A \cup B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \vee X \subseteq B$ e
  • $X \subseteq A \cap B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

(a) Para este item vamos mostrar que $\emptyset \subseteq A.$

Por definição, temos que mostrar que $x \in \emptyset \Rightarrow x \in A.$

Como a proposição $p : x \in \emptyset$ é sempre falsa, então $p \Rightarrow q$ é verdadeira para qualquer proposição $q,$ o que mostra a inclusão.

(b) Neste item mostramos a equivalência $X ⊆ A ∩ B ⇐⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B,$ a outra fica como exercício 😂😂😂.

(Ida)

• Hipótese: $X \subseteq A \cap B$
• Tese $X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

Seja $x ∈ X,$ como por hipótese $X \subseteq A \cap B,$ temos que $x \in A \cap B$ e, pela definição de intersecção, temos que $x \in A \wedge x \in B.$

Portanto $X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

(Volta)

• Hipótese: $X \subseteq A \wedge X \subseteq B$
• Tese $X \subseteq A \cap B.$

Seja $x ∈ X,$ por hipótese $x \in A \wedge x \in B$ e, pela definição de intersecção, temos que $x \in A \cap B.$

Portanto $X \subseteq A \cap B$

$\square$

Este é o resumo da introdução aos conjuntos. Aguardem os próximos posts.