Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo (1ª aplicação).

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2022 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 136 a 150. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
136 Porcentagem e média ponderada de salários D
137 Razão e conversão de unidades de tempo B
138 Razão entre unidades de tempo A
139 Leitura de gráfico distância × tempo A
140 Aumentos e descontos percentuais A
141 Orientação e trajetos em malha C
142 Volume do cilindro E
143 Razão entre grandezas em gráficos B
144 Números grandes: bilhão E
145 Menor caminho: reflexão e semelhança D
146 Comparação de custos A
147 Volume da esfera e proporção E
148 Volume do cone e porcentagem C
149 Porcentagem: queda de 75% C
150 Análise combinatória: combinações B

Questão 136: Aumento salarial e salário médio (porcentagem)

Enunciado

Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00.

A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R$ 12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores.

Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,

  • A) 14,4.
  • B) 20,7.
  • C) 22,0.
  • D) 30,0.
  • E) 37,5.

Resolução

O salário médio é a folha total dividida pelo número de professores (60 + 40 = 100). Então a média não pode passar de R$ 12 240,00 exatamente quando a folha total não passa de $100 \cdot 12\thinspace 240 = 1\thinspace 224\thinspace 000$ reais.

1. Folha dos mestres depois do aumento. Com 25% de aumento, cada mestre passa a ganhar $8000 \cdot 1{,}25 = 10\thinspace 000$ reais. Os 60 mestres custam

$$60 \cdot 10\thinspace 000 = 600\thinspace 000$$

2. Quanto sobra para os doutores. No máximo $1\thinspace 224\thinspace 000 - 600\thinspace 000 = 624\thinspace 000$ reais, ou seja, por doutor:

$$\frac{624\thinspace 000}{40} = 15\thinspace 600$$

3. Aumento percentual. O salário do doutor pode ir de 12 000 para até 15 600:

$$\frac{15\thinspace 600}{12\thinspace 000} = 1{,}30 \quad\Rightarrow\quad \text{aumento de } 30\%$$

Resposta: alternativa D (30,0%).

Cuidado com a pegadinha: a média é ponderada pelo número de professores. Quem faz a média simples dos dois salários, $\frac{10\thinspace 000 + x}{2} = 12\thinspace 240$, encontra $x = 14\thinspace 480$ e um aumento de cerca de 20,7% (alternativa B), o que está errado porque há mais mestres do que doutores.

Para revisar, veja Aumentos e Descontos.

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Questão 137: Inseticida liberado a cada acionamento

Enunciado

Um borrifador de atuação automática libera, a cada acionamento, uma mesma quantidade de inseticida. O recipiente desse produto, quando cheio, contém 360 mL de inseticida, que duram 60 dias se o borrifador permanecer ligado ininterruptamente e for acionado a cada 48 minutos.

A quantidade de inseticida que é liberada a cada acionamento do borrifador, em mililitro, é

  • A) 0,125.
  • B) 0,200.
  • C) 4,800.
  • D) 6,000.
  • E) 12,000.

Resolução

1. Tempo total em minutos. Um dia tem $24 \cdot 60 = 1440$ minutos. Em 60 dias:

$$60 \cdot 1440 = 86\thinspace 400 \text{ minutos}$$

2. Número de acionamentos. Um acionamento a cada 48 minutos:

$$\frac{86\thinspace 400}{48} = 1800 \text{ acionamentos}$$

3. Quantidade por acionamento. Os 360 mL são divididos igualmente:

$$\frac{360}{1800} = 0{,}2 \text{ mL}$$

Resposta: alternativa B (0,200 mL).

Cuidado com a pegadinha: quem esquece de converter os dias em minutos (por exemplo, divide 360 por 60 dias) chega a 6 mL, a alternativa D.

Para revisar, veja Regra de 3.

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Questão 138: O ano do planeta Z em dias de Z

Enunciado

Definem-se o dia e o ano de um planeta de um sistema solar como sendo, respectivamente, o tempo que o planeta leva para dar 1 volta completa em torno de seu próprio eixo de rotação e o tempo para dar 1 volta completa em torno de seu Sol.

Suponha que exista um planeta Z, em algum sistema solar, onde um dia corresponda a 73 dias terrestres e que 2 de seus anos correspondam a 1 ano terrestre. Considere que 1 ano terrestre tem 365 de seus dias.

No planeta Z, seu ano corresponderia a quantos de seus dias?

  • A) 2,5
  • B) 10,0
  • C) 730,0
  • D) 13 322,5
  • E) 53 290,0

Resolução

Vamos medir tudo em dias terrestres e depois converter.

1. O ano de Z. Dois anos de Z valem 1 ano terrestre, que tem 365 dias terrestres. Logo, um ano de Z dura

$$\frac{365}{2} = 182{,}5 \text{ dias terrestres}$$

2. Quantos dias de Z cabem nisso. Cada dia de Z dura 73 dias terrestres:

$$\frac{182{,}5}{73} = 2{,}5$$

Ou seja, o planeta Z gira apenas duas vezes e meia em torno do próprio eixo durante uma volta ao redor do seu Sol.

Resposta: alternativa A (2,5).

Cuidado com a pegadinha: multiplicar em vez de dividir leva a números enormes, como $182{,}5 \cdot 73 = 13\thinspace 322{,}5$ (alternativa D).

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Questão 139: Ultrapassagens numa corrida (gráfico distância × tempo)

Enunciado

Em uma competição de velocidade, diz-se que há uma ultrapassagem quando um veículo que está atrás de outro passa à sua frente, com ambos se deslocando no mesmo sentido. Considere uma competição automobilística entre cinco carros em uma pista com 100 m de comprimento, onde todos largam no mesmo instante e da mesma linha. O gráfico mostra a variação da distância percorrida por cada veículo, em função do tempo, durante toda a competição.

Qual o número de ultrapassagens, após o início da competição, efetuadas pelo veículo que chegou em último lugar?

  • A) 0
  • B) 1
  • C) 2
  • D) 3
  • E) 4

Resolução

No gráfico, em cada instante, o carro que está mais à frente é o que tem a curva mais alta (maior distância percorrida).

1. Quem chegou em último. É o carro que leva mais tempo para atingir 100 m: a reta preta, que só chega a 100 m em $t = 15$ s. Todos os outros chegam antes.

2. Ultrapassagem no gráfico. Um carro ultrapassa outro quando a curva dele, que estava abaixo, cruza a do outro e passa para cima.

3. Olhando a reta preta. Logo após a largada, ela está abaixo das duas curvas da esquerda (que sobem rápido) e acima das duas curvas que começam devagar (as que se curvam para cima). Depois disso, a reta preta só é cruzada de baixo para cima pelas outras curvas: são os outros carros que a ultrapassam. Ela nunca cruza nenhuma curva subindo sobre ela.

Portanto, o último colocado não fez nenhuma ultrapassagem.

Resposta: alternativa A (0).

Cuidado com a pegadinha: a reta preta tem dois cruzamentos com outras curvas, mas nos dois casos é ela que é ultrapassada. Contar esses cruzamentos como ultrapassagens dela leva à alternativa C (2).

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Questão 140: Preço da geladeira no cartão (aumentos e descontos)

Enunciado

Em uma loja, o preço promocional de uma geladeira é de R$ 1 000,00 para pagamento somente em dinheiro. Seu preço normal, fora da promoção, é 10% maior. Para pagamento feito com o cartão de crédito da loja, é dado um desconto de 2% sobre o preço normal.

Uma cliente decidiu comprar essa geladeira, optando pelo pagamento com o cartão de crédito da loja. Ela calculou que o valor a ser pago seria o preço promocional acrescido de 8%. Ao ser informada pela loja do valor a pagar, segundo sua opção, percebeu uma diferença entre seu cálculo e o valor que lhe foi apresentado.

O valor apresentado pela loja, comparado ao valor calculado pela cliente, foi

  • A) R$ 2,00 menor.
  • B) R$ 100,00 menor.
  • C) R$ 200,00 menor.
  • D) R$ 42,00 maior.
  • E) R$ 80,00 maior.

Resolução

1. Preço normal. 10% a mais que o promocional:

$$1000 \cdot 1{,}10 = 1100$$

2. Valor da loja (cartão). 2% de desconto sobre o preço normal:

$$1100 \cdot 0{,}98 = 1078$$

3. Valor calculado pela cliente. Ela somou os percentuais (+10% − 2% = +8%) e aplicou sobre o preço promocional:

$$1000 \cdot 1{,}08 = 1080$$

4. Comparação. $1078 - 1080 = -2$: o valor da loja é R$ 2,00 menor.

A cliente errou porque aumentos e descontos percentuais não se somam: eles se multiplicam, $1{,}10 \cdot 0{,}98 = 1{,}078$, que é um aumento de 7,8%, e não de 8%.

Resposta: alternativa A (R$ 2,00 menor).

Para revisar, veja Aumentos e Descontos.

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Questão 141: Descrevendo um trajeto com E, F e D

Enunciado

Uma pessoa precisa se deslocar de automóvel do ponto P para o ponto Q, indicados na figura, na qual as linhas verticais e horizontais simbolizam ruas.

Por causa do sentido de tráfego nessas ruas, o caminho poligonal destacado é a possibilidade mais curta de efetuar esse deslocamento. Para descrevê-lo, deve-se especificar qual o sentido a ser tomado em cada cruzamento de ruas, em relação à direção de deslocamento do automóvel, que se movimentará continuamente. Para isso, empregam-se as letras E, F e D para indicar “vire à esquerda”, “siga em frente” e “vire à direita”, respectivamente.

A sequência de letras que descreve o caminho poligonal destacado é

  • A) DDEFDDEEFFD.
  • B) DFEFDDDEFFD.
  • C) DFEFDDEEFFD.
  • D) EFDFEEDDFFE.
  • E) EFDFEEEDFFE.

Resolução

O importante é que esquerda e direita são em relação ao carro, e não ao papel. Um truque: quando o carro anda para cima (norte) ou para baixo (sul), imagine-se dentro dele.

Vamos percorrer cada cruzamento do caminho, a partir de P (o carro sai andando para cima, como indica a seta):

Cruzamento Carro vindo… Vai para… Letra
1º subindo (norte) direita do papel (leste) D
2º para leste segue para leste F
3º para leste sobe (norte) E
4º subindo segue subindo F
5º subindo leste D
6º para leste desce (sul) D
7º descendo (sul) leste E
8º para leste sobe (norte) E
9º subindo segue subindo F
10º subindo segue subindo F
11º subindo leste, até Q D

O ponto delicado é o 7º cruzamento: o carro está descendo no papel e vira para a direita do papel. Para quem está dentro do carro, virado para baixo, a direita do papel fica do seu lado esquerdo, então a letra é E.

Sequência: DFEFDDEEFFD.

Resposta: alternativa C (DFEFDDEEFFD).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (DFEFDDDEFFD) é o que se obtém ao usar a direita do papel no 7º cruzamento, esquecendo que o carro está descendo.

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Questão 142: Caixa-d’água de maior volume (cilindro)

Enunciado

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:

  • modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
  • modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
  • modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
  • modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

  • A) I.
  • B) II.
  • C) III.
  • D) IV.
  • E) V.

Resolução

O volume de um cilindro é área da base × altura. Para o modelo I, $V_I = A_b \cdot P$.

Um detalhe importante: a área da base é $\pi r^2$. Se o raio é multiplicado por $k$, a área fica multiplicada por $k^2$.

1. Cada modelo:

  • II: $\;\frac{A_b}{2} \cdot 2P = A_b P = V_I$
  • III: raio pela metade ⇒ área $\frac{A_b}{4}$; $\;\frac{A_b}{4} \cdot 2P = \frac{V_I}{2}$
  • IV: $\;2A_b \cdot \frac{P}{2} = V_I$
  • V: raio dobrado ⇒ área $4A_b$; $\;4A_b \cdot \frac{P}{2} = 2V_I$

2. Comparação. O modelo V tem o dobro do volume do modelo I, e é o maior.

Resposta: alternativa E (modelo V).

Cuidado com a pegadinha: quem trata “dobro do raio” como “dobro da área” acha que o modelo V é igual ao IV (mesmo volume de I) e não consegue decidir. O raio entra ao quadrado na área.

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Questão 143: Ano de maior rentabilidade do aluguel

Enunciado

No período de 2005 a 2013, o valor de venda dos imóveis em uma cidade apresentou alta, o que resultou no aumento dos aluguéis. Os gráficos apresentam a evolução desses valores, para um mesmo imóvel, no mercado imobiliário dessa cidade.

A rentabilidade do aluguel de um imóvel é calculada pela razão entre o valor mensal de aluguel e o valor de mercado desse imóvel.

Com base nos dados fornecidos, em que ano a rentabilidade do aluguel foi maior?

  • A) 2005
  • B) 2007
  • C) 2009
  • D) 2011
  • E) 2013

Resolução

Atenção às unidades: o aluguel está em reais e o valor do imóvel em milhares de reais. Como a mesma unidade vale para todos os anos, para comparar podemos dividir direto aluguel por (valor em milhar), sem converter:

Ano Aluguel (R$) Valor (mil R$) Razão
2005 630 90 7
2007 960 120 8
2009 1 350 270 5
2011 1 800 450 4
2013 3 240 540 6

(Em porcentagem, a razão 8 significa $\frac{960}{120\thinspace 000} = 0{,}8\%$ ao mês.)

A maior razão é a de 2007.

Resposta: alternativa B (2007).

Cuidado com a pegadinha: em 2013 o aluguel é o maior de todos, mas o imóvel também está muito mais caro. A rentabilidade depende da razão, e não do valor do aluguel sozinho (alternativa E).

Para revisar, veja Taxas.

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Questão 144: Escrevendo R$ 1,35 bilhão com todos os algarismos

Enunciado

Ao escutar a notícia de que um filme recém-lançado arrecadou, no primeiro mês de lançamento, R$ 1,35 bilhão em bilheteria, um estudante escreveu corretamente o número que representa essa quantia, com todos os seus algarismos.

O número escrito pelo estudante foi

  • A) 135 000,00.
  • B) 1 350 000,00.
  • C) 13 500 000,00.
  • D) 135 000 000,00.
  • E) 1 350 000 000,00.

Resolução

Um bilhão é $1\thinspace 000\thinspace 000\thinspace 000 = 10^9$ (nove zeros). Então

$$1{,}35 \text{ bilhão} = 1{,}35 \cdot 10^9 = 1\thinspace 350\thinspace 000\thinspace 000$$

Com os centavos: 1 350 000 000,00.

Resposta: alternativa E (1 350 000 000,00).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (1 350 000,00) é 1,35 milhão, mil vezes menos.

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Questão 145: Ponto de conexão das rodovias (menor caminho)

Enunciado

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

  • A) I
  • B) II
  • C) III
  • D) IV
  • E) V

Resolução

Pela figura, $A = (20, 40)$ e $B = (50, 20)$, e o ponto de conexão $C = (x, 0)$ fica no eixo x. Queremos minimizar $AC + CB$.

1. Truque da reflexão. Refletindo $B$ no eixo x, obtemos $B' = (50, -20)$. Para qualquer ponto $C$ do eixo, $CB = CB'$ (o eixo é a mediatriz de $BB'$). Então

$$AC + CB = AC + CB'$$

e isso é mínimo quando $A$, $C$ e $B'$ estão alinhados: o caminho mais curto entre dois pontos é o segmento de reta.

2. Onde o segmento $AB'$ corta o eixo. De $A$ até $B'$, a abscissa aumenta $50 - 20 = 30$ enquanto a ordenada cai $40 - (-20) = 60$. Para cair de 40 até 0 (ou seja, 40 unidades, $\frac{2}{3}$ da queda total), a abscissa aumenta $\frac{2}{3} \cdot 30 = 20$:

$$x = 20 + 20 = 40$$

3. Conferindo por semelhança. Os triângulos formados por $A$, $C$ e o pé de $A$ no eixo $(20,0)$, e por $B$, $C$ e o pé de $B$ $(50,0)$, são semelhantes (mesmo ângulo em $C$): $\frac{40}{x-20} = \frac{20}{50-x}$, que dá $2000 - 40x = 20x - 400$, ou seja, $x = 40$.

O ponto $x = 40$ km é a localização IV.

Resposta: alternativa D (IV).

Cuidado com a pegadinha: o ponto médio entre as abscissas das cidades ($x = 35$, localização III) parece “justo”, mas não é o mínimo: como A está mais longe da rodovia do que B, o ponto ideal fica mais perto de B.

Para revisar, veja Semelhança de Triângulos.

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Questão 146: Operário mais barato (comparação de custos)

Enunciado

Uma pessoa precisa contratar um operário para fazer um serviço em sua casa. Para isso, ela postou um anúncio em uma rede social.

Cinco pessoas responderam informando preços por hora trabalhada, gasto diário com transporte e tempo necessário para conclusão do serviço, conforme valores apresentados no quadro.

Operário Preço por hora (real) Preço do transporte (real) Tempo até conclusão (hora)
I 120 0,00 8
II 180 0,00 6
III 170 20,00 6
IV 110 10,00 9
V 110 0,00 10

Se a pessoa pretende gastar o mínimo possível com essa contratação, irá contratar o operário

  • A) I.
  • B) II.
  • C) III.
  • D) IV.
  • E) V.

Resolução

1. Custo das horas de trabalho (preço por hora × tempo):

Operário Horas Transporte Custo mínimo
I $120 \cdot 8 = 960$ 0 960
II $180 \cdot 6 = 1080$ 0 1 080
III $170 \cdot 6 = 1020$ 20 por dia 1 040 ou mais
IV $110 \cdot 9 = 990$ 10 por dia 1 000 ou mais
V $110 \cdot 10 = 1100$ 0 1 100

2. Comparação. O transporte é um gasto diário, e o quadro não diz em quantos dias o serviço será feito. Mas isso não importa: o operário I não cobra transporte e as horas dele (R$ 960,00) já são mais baratas do que as horas de qualquer outro. Qualquer transporte só aumentaria o custo dos outros.

Resposta: alternativa A (operário I, R$ 960,00).

Cuidado com a pegadinha: olhar só o menor preço por hora (R$ 110,00, operários IV e V) engana: eles demoram mais, e o total fica maior.

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Questão 147: Docinhos maiores (volume da esfera)

Enunciado

Uma cozinheira produz docinhos especiais por encomenda. Usando uma receita-base de massa, ela prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro. Um cliente encomenda 150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro. A cozinheira pretende preparar o número exato de porções da receita-base de massa necessário para produzir os docinhos dessa encomenda.

Quantas porções da receita-base de massa ela deve preparar para atender esse cliente?

  • A) 2
  • B) 3
  • C) 6
  • D) 12
  • E) 24

Resolução

1. Quanto cresce o volume. O volume da esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$: ele é proporcional ao cubo do raio. Dobrando o diâmetro (de 2 cm para 4 cm), o raio dobra e o volume fica multiplicado por $2^3 = 8$.

Ou seja, um docinho grande gasta a massa de 8 docinhos pequenos.

2. Massa da encomenda, em “docinhos pequenos”:

$$150 \cdot 8 = 1200$$

3. Porções. Cada porção rende 50 docinhos pequenos:

$$\frac{1200}{50} = 24$$

Resposta: alternativa E (24 porções).

Cuidado com a pegadinha: achar que o dobro do diâmetro dá o dobro do volume leva a $\frac{150 \cdot 2}{50} = 6$ (alternativa C). Usar o quadrado (fator 4) leva a 12 (alternativa D).

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Questão 148: Chocolate em cone com volume 19% menor

Enunciado

Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.

Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.

Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a

  • A) 1,52.
  • B) 3,24.
  • C) 3,60.
  • D) 6,48.
  • E) 7,20.

Resolução

O volume do cone é $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. O raio original é metade do diâmetro: $r = 4$ cm.

1. Novo volume. 19% menor significa 81% do original: $V' = 0{,}81 \cdot V$. Escrevendo os dois volumes com a mesma altura ($h = 10$):

$$\frac{1}{3}\pi r'^2 \cdot 10 = 0{,}81 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 10$$

2. Simplificando. Tudo que é igual dos dois lados se cancela:

$$r'^2 = 0{,}81 \cdot 16 \quad\Rightarrow\quad r' = 0{,}9 \cdot 4 = 3{,}6$$

Resposta: alternativa C (3,60 cm).

Cuidado com a pegadinha: o volume depende de $r^2$, então o raio não diminui 19%. Quem faz $4 \cdot 0{,}81 = 3{,}24$ marca a alternativa B. E quem usa o diâmetro 8 como se fosse raio chega a 7,20 (alternativa E) ou 6,48 (alternativa D).

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Questão 149: Vagas de emprego com queda de 75%

Enunciado

Em janeiro de 2013, foram declaradas 1 794 272 admissões e 1 765 372 desligamentos no Brasil, ou seja, foram criadas 28 900 vagas de emprego, segundo dados do Cadastro Geral de Empregados e Desempregados (Caged), divulgados pelo Ministério do Trabalho e Emprego (MTE). Segundo o Caged, o número de vagas criadas em janeiro de 2013 sofreu uma queda de 75%, quando comparado com o mesmo período de 2012.

Disponível em: http://portal.mte.gov.br. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado).

De acordo com as informações dadas, o número de vagas criadas em janeiro de 2012 foi

  • A) 16 514.
  • B) 86 700.
  • C) 115 600.
  • D) 441 343.
  • E) 448 568.

Resolução

Seja $x$ o número de vagas de janeiro de 2012. Uma queda de 75% deixa $100\% - 75\% = 25\%$ do valor original:

$$0{,}25 \cdot x = 28\thinspace 900 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{28\thinspace 900}{0{,}25} = 4 \cdot 28\thinspace 900 = 115\thinspace 600$$

Resposta: alternativa C (115 600).

Cuidado com a pegadinha: os 75% foram calculados sobre o valor de 2012, que é o desconhecido. Por isso não adianta somar 75% ao valor de 2013. A alternativa B (86 700 $= 3 \cdot 28\thinspace 900$) é só o tamanho da queda, e não o total de 2012.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 150: Apartamentos com sol pela manhã (combinações)

Enunciado

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

  • naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
  • naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
  • naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

  • A) $9 \times \dfrac{6!}{(6-2)!}$
  • B) $9 \times \dfrac{6!}{(6-2)! \times 2!}$
  • C) $9 \times \dfrac{4!}{(4-2)! \times 2!}$
  • D) $9 \times \dfrac{2!}{(2-2)! \times 2!}$
  • E) $9 \times \left(\dfrac{8!}{(8-2)! \times 2!} - 1\right)$

Resolução

1. Apartamentos que servem, em cada andar. Pelo menos um quarto com sol de manhã: finais 1 e 2 (os dois quartos) e finais 3, 4, 5 e 6 (um quarto). São 6 apartamentos por andar. Os finais 7 e 8 não servem.

2. Escolher 2 num mesmo andar. A ordem não importa (comprar o 31 e o 35 é o mesmo que comprar o 35 e o 31), então é uma combinação de 6 elementos tomados 2 a 2:

$$C_{6,2} = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = 15$$

3. Escolher o andar. São 9 andares, e os dois apartamentos têm de estar no mesmo andar. Pelo princípio multiplicativo:

$$9 \times \frac{6!}{(6-2)! \times 2!} = 9 \cdot 15 = 135$$

Resposta: alternativa B.

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A é o arranjo $\frac{6!}{(6-2)!}$, que conta cada par duas vezes (considera a ordem). A alternativa C usa só os 4 apartamentos de finais 3 a 6, esquecendo que os de finais 1 e 2 também recebem sol de manhã.

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