Detetives dos quatro lados

Um quadrado, um retângulo e um losango.
Passe o dedo pelo contorno de cada figura. Conte quatro lados e quatro vértices.
Arranjo de três fileiras com quatro bolinhas.
Desenhe uma grade de 3 por 4 quadradinhos: ela terá 12 quadradinhos. Essa é uma ideia de área.

No post anterior, falamos um pouco sobre o livro Elementos de Euclides, que é composta por 13 livros.

Antes de falarmos sobre os quadriláteros, vamos definir o que é um polígono.

Polígonos são figuras fechadas, formadas apenas por segmentos de reta que não são cruzadas.

Desta forma, podemos definir quadrilátero.

Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados.

Quadriláteros Notáveis

A seguir, pode mostrar alguns quadriláteros notáveis.

Os quadriláteros da figura são respectivamente:

  • Quadrado de todos os quadriláteros é o que tem propriedades em comum com todos os outros.
  • Retângulo, também chamado como Oblongo por Euclides.
  • Trapézio não tinha na definição de Euclides, mas é um caso qualquer dentro dos quadriláteros.
  • Paralelogramo, também conhecido como Rombóide por Euclides.
  • Losango, também conhecido como Rombo por Euclides.

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Arraste os vértices ou escolha um quadrilátero notável. Os ângulos sempre somam 360°.

Quadrado

O quadrado pode ser definido como dois pares de retas paralelas, com um par horizontal e um par vertical. Vale lembrar que esses pares são iguais e perpendiculares.

Área do quadrado

A área do quadrado é basicamente a tabuada dos números naturais, em que os dois lados paralelos são iguais. Veja o exemplo a seguir:

Representação da raiz quadrada

Desta forma:

$$\text{Área do quadrado} = \text{lado} ~\times ~ \text{lado}= 2\times 2 = 4$$

Mais geral:

$$A_{\square} = \ell \times \ell \qquad \text{para qualquer }\ell \text{ natural.}$$

Retângulo

O retângulo pode ser definido como dois pares de retas paralelas, com um par horizontal e um par vertical. Vale lembrar que esses pares nem sempre são iguais, mas são perpendiculares.

Área do retângulo

A área do retângulo é basicamente a tabuada dos números naturais, em que os dois lados paralelos são diferentes. O quadrado é um caso particular do retângulo.

Desta forma:

$$\text{Área do retângulo} = \text{base} ~\times ~ \text{altura}= 4\times 2 = 8$$

Mais geral:

$$A_{\text{retângulo} } = b \times h \qquad \text{para qualquer }b,~ h \text{ natural.}$$

Losango

O losango é um polígono que possui quatro lados congruentes. Isso significa que todos os lados têm a mesma medida. Os losangos são figuras geométricas formadas por segmentos de reta que se encontram apenas em seus extremos.

Área do losango

A área do losango é basicamente a tabuada dos números naturais, em que as dcuas diagonais podem ser iguais ou diferentes.

Desta forma:

$$\text{Área do losango} = \frac{\text{diagonal maior} ~\times ~ \text{diagonal menor} }{2}= \frac{4\times 2}{2} = 4$$

Mais geral:

$$A_{\text{losango} } = \frac{D \times d}{2} \qquad \text{para qualquer }D, ~d \text{ natural.}$$

Paralelogramo

Todo paralelogramo tem como subconjuntos o retângulo, losango e quadrado.

Área do Paralelogramo

A área do Paralelogramo é basicamente o mesmo que calcular a área do retângulo.

Desta forma:

$$\text{Área do paralelogramo} = \text{base} ~\times ~ \text{altura} = 2\times 2 = 4$$

Mais geral:

$$A_{\text{paralelogramo} } = b \times h \qquad \text{para qualquer }D, ~d \text{ natural.}$$

Trapézio

Um trapézio é uma figura geométrica plana formada por quatro lados. Dois deles são paralelos e são chamados de bases. Os outros dois lados não são paralelos e são chamados de pernas.

Área do Trapézio

A área do Trapézio é basicamente o mesmo que calcular a área do retângulo.

Ao ínvés de decorarmos a fórmula, vamos deduzir:

$$\text{Área do Trapézio} = \frac{(\text{Base maior} + \text{base menor})}{2}~\times ~ \text{altura} $$

Para isto, vamos seguir alguns passos:

  • Passo 1: área do retângulo maior
$$A_{\text{Retângulo maior} } = B\times h$$
  • Passo 2: área do retângulo menor
$$A_{\text{Retângulo menor} } = \frac{(B- b)}{2}\times h$$
  • Passo 4: área do Trapézio
$$ \begin{aligned} A_{\text{Retângulo maior} } &= A_{\text{Trapézio} } - A_{\text{Retângulo menor} }\\ B\times h &= A_{\text{Trapézio} } - \frac{(B- b)}{2}\times h\\ A_{\text{Trapézio} } &= B\times h - \frac{(B- b)}{2}\times h\\ A_{\text{Trapézio} } &= B\times h - \frac{B\times h}{2} + \frac{b\times h}{2}\\ A_{\text{Trapézio} } &= \frac{B\times h}{2} + \frac{b\times h}{2}\\ \end{aligned} $$

Portanto

$$A_{\text{Trapézio} } = \frac{(B+b)\times h}{2}$$