No livro interativo: capítulo X completo, com todas as demonstrações e exercícios.

Uma ponte vista da margem

Dois pontos A e B estão na mesma margem de um rio, separados por uma distância conhecida. Um ponto C está na outra margem. Ao medir os ângulos em A e B, podemos calcular AC e BC sem atravessar. O triângulo formado pode não ter nenhum ângulo reto.

Vamos chamar os ângulos de $A,B,C$ e os lados opostos de $a,b,c$. Sempre $A+B+C=180°$. Os lados de um triângulo não degenerado são positivos e cada um é menor que a soma dos outros dois.

Demonstração da lei dos cossenos

Coloque A na origem, B em $(c,0)$ e C em $(b\cos A,b\operatorname{sen} A)$. O lado BC mede $a$. Pela distância entre dois pontos, que vem de Pitágoras:

$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\operatorname{sen} A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\operatorname{sen}^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$

A expressão também vale para $A$ obtuso, pois a coordenada horizontal de C passa a ser negativa. Se $A=90°$, o termo com cosseno é zero e reencontramos Pitágoras.

Por exemplo, para $b=5$, $c=7$ e $A=60°$, temos $a^2=25+49-70/2=39$, então $a=\sqrt{39}$.

Demonstração da fórmula da área

A altura relativa ao lado $c$ mede $b\operatorname{sen} A$. Se $A$ for obtuso, a altura cai no prolongamento da base e o seno continua positivo. Portanto a área $K$ é:

$$K=\frac{bc\operatorname{sen} A}{2}.$$

Escolhendo outros pares de lados, obtemos também $K=ac\operatorname{sen} B/2=ab\operatorname{sen} C/2$. Igualando as expressões e dividindo por $abc/2$, que é positivo, resulta:

$$\frac{\operatorname{sen} A}{a}=\frac{\operatorname{sen} B}{b}=\frac{\operatorname{sen} C}{c}.$$

Invertendo, chegamos à lei dos senos:

$$\frac a{\operatorname{sen} A}=\frac b{\operatorname{sen} B}=\frac c{\operatorname{sen} C}.$$

Se $R$ é o raio da circunferência que passa pelos três vértices, a corda oposta a $A$ mede $a=2R\operatorname{sen} A$. Isso decorre de dividir ao meio o triângulo de dois raios: para $A$ obtuso, usamos o ângulo suplementar, de mesmo seno. Logo a razão comum acima é $2R$, e $K=abc/(4R)$.

Resolver sem atravessar o rio

Se $AB=c=20$ m e os ângulos medidos são $A=45°$ e $B=60°$, então $C=75°$. Pela lei dos senos:

$$\begin{aligned} b=AC&=\frac{20\operatorname{sen}60°}{\operatorname{sen}75°}\\ &=\frac{40\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}\text{ m}. \end{aligned}$$

Isso é aproximadamente 17,93 m. O lado $a=BC$ é $20\operatorname{sen}45°/\operatorname{sen}75°$, aproximadamente 14,64 m. As medidas permitem planejar a travessia sem entrar na água.

Qual informação é suficiente?

Com dois ângulos e um lado, obtenha o terceiro ângulo e use a lei dos senos. Com dois lados e o ângulo entre eles, use primeiro a lei dos cossenos. Com três lados válidos, isole um cosseno e obtenha o ângulo pela função inversa.

Dois lados e um ângulo que não está entre eles exigem cuidado. Por exemplo, se $A=30°$, $a=5$ e $b=8$, a lei dos senos fornece $\operatorname{sen} B=4/5$. Existem duas escolhas: $B\approx53{,}13°$ ou $B\approx126{,}87°$. Ambas deixam um terceiro ângulo positivo. Portanto há dois triângulos possíveis. Outros dados desse tipo podem dar um ou nenhum triângulo.

Oficina avançada: medidas especiais

O semiperímetro é $s=(a+b+c)/2$. A área também pode ser calculada pela fórmula de Heron:

$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$

Para demonstrá-la, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ e $\operatorname{sen}^2A=1-\cos^2A$ em $K=bc\operatorname{sen} A/2$. Assim:

$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$

Como a área é positiva, tomamos a raiz positiva. As alturas são $h_a=2K/a$, $h_b=2K/b$ e $h_c=2K/c$.

O círculo inscrito toca os três lados. Seu centro está à mesma distância $r$ deles. Dividindo o triângulo em três com altura $r$, temos $K=(a+b+c)r/2=rs$, portanto $r=K/s$.

A mediana liga um vértice ao meio do lado oposto. Sua medida é:

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$

Para demonstrar, coloque o ponto médio da base na origem, os extremos em $(-a/2,0)$ e $(a/2,0)$ e o vértice em $(u,v)$. Some as expressões das distâncias ao quadrado: $b^2+c^2=2(u^2+v^2)+a^2/2$. Como $u^2+v^2=m_a^2$, a fórmula resulta.

A bissetriz interna divide o ângulo ao meio. Se seu comprimento é $t_a$, então:

$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}.$$

De fato, a bissetriz reparte o triângulo em dois de áreas $ct_a\operatorname{sen}(A/2)/2$ e $bt_a\operatorname{sen}(A/2)/2$. A soma é $bc\operatorname{sen} A/2$. Substituindo $\operatorname{sen} A=2\operatorname{sen}(A/2)\cos(A/2)$ e cancelando os fatores positivos, obtemos a expressão.

Não é preciso memorizar todas essas ferramentas de uma vez. Escolha uma figura, identifique o que conhece e explique por que a fórmula escolhida se aplica.

No dia a dia

  • Distância entre barcos. Dois barcos que saem do mesmo porto em direções diferentes: a lei dos cossenos dá a distância entre eles.
  • Terrenos. A fórmula de Heron dá a área de um terreno triangular medindo apenas os três lados.
  • Braços robóticos. O ângulo do “cotovelo” de um robô ou de uma prótese é calculado com a lei dos cossenos.
A distância entre dois barcos que saem do mesmo porto, pela lei dos cossenos.

Exercícios

Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.

1. Dois lados medem 6 e 8 cm e o ângulo entre eles é $60°$. Calcule o terceiro lado.

Ver resolução 1

$a^2=36+64-2\cdot6\cdot8\cdot1/2=52$. Logo $a=2\sqrt{13}$ cm.

2. Calcule a área de um triângulo com lados 8 e 10 cm formando $30°$.

Ver resolução 2

$K=8\cdot10\cdot\operatorname{sen}30°/2=20$ cm².

3. Um triângulo tem $A=30°$, $B=45°$ e $a=6$ cm. Calcule $C$ e $b$.

Ver resolução 3

$C=180°-30°-45°=105°$. Pela lei dos senos, $b=6(\sqrt2/2)/(1/2)=6\sqrt2$ cm.

4. Um triângulo tem lados 5, 5 e 6 cm. Calcule área, altura relativa ao lado 6 e raio inscrito.

Ver resolução 4

$s=8$ cm. Por Heron, $K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$ cm². A altura é $2\cdot12/6=4$ cm. O raio inscrito é $12/8=1{,}5$ cm.

5. Calcule a mediana relativa ao lado de 6 cm no triângulo de lados 5, 5 e 6 cm.

Ver resolução 5

$m=\tfrac12\sqrt{2\cdot25+2\cdot25-36}=\tfrac12\sqrt{64}=4$ cm. Neste triângulo isósceles, essa mediana é também altura e bissetriz.

6. Se $A=30°$, $a=4$ e $b=10$, existe um triângulo?

Ver resolução 6

Não. A lei dos senos exigiria $\operatorname{sen} B=b\operatorname{sen} A/a=10\cdot(1/2)/4=1{,}25$, impossível para um ângulo real.

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