Como se prova que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ para todos os números $a$ e $b$? Não testando valores: nenhuma quantidade de exemplos cobre todos os números. Prova-se escrevendo uma corrente:

$$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

Cada igual liga dois vizinhos, e cada elo é garantido por uma regra conhecida: a definição do quadrado, a distributiva, a distributiva de novo, a comutativa da multiplicação. Pela transitividade, a lei de Euclides que o texto 1 apresentou, o primeiro elo vale o último. A prova é a corrente.

Uma corrente com etiquetas

Na escrita usual, as justificativas ficam na cabeça de quem escreveu. O leitor precisa adivinhar por que cada igual vale. Nos anos 1980, o cientista da computação holandês Edsger Dijkstra e o seu colega Wim Feijen propuseram um formato em que cada elo carrega a sua etiqueta, entre chaves:

$$\begin{aligned} &(a+b)^2\\ =\;&\{\text{definição de quadrado}\}\\ &(a+b)(a+b)\\ =\;&\{\text{distributiva}\}\\ &a(a+b)+b(a+b)\\ =\;&\{\text{distributiva}\}\\ &a^2+ab+ba+b^2\\ =\;&\{\text{comutativa: }ba=ab\}\\ &a^2+2ab+b^2 \end{aligned}$$

O formato ocupa mais espaço e diz mais. Cada linha de expressão alterna com uma linha de justificativa, e o sinal de igual fica na margem esquerda, à vista, como o elo da corrente que de fato é. Dijkstra chamou esse estilo de prova calculacional: provar é calcular, e calcular é trocar iguais por iguais com a regra à mostra.

De qual lado começar

Uma regra prática para provar identidades: comece pelo lado mais complicado. Simplificar é mais fácil do que adivinhar como complicar. Para provar

$$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)},$$

começa-se pela esquerda, que tem duas frações e pede para ser juntada:

$$\begin{aligned} \frac1k-\frac1{k+1}&=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\\ &=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}. \end{aligned}$$

Começar pela direita exigiria saber, de antemão, que $1=(k+1)-k$ é uma boa ideia. A prova pela esquerda descobre isso no caminho.

O erro de partir do fim

Há um jeito de errar que parece prova. Um aluno quer mostrar que $-1=1$ e escreve:

$$-1=1\quad\Longrightarrow\quad(-1)^2=1^2\quad\Longrightarrow\quad1=1.$$

“Cheguei a uma coisa verdadeira, logo a primeira linha é verdadeira.” Não é. Uma corrente de $\Rightarrow$ que parte de uma frase falsa pode chegar a uma frase verdadeira; foi o que o texto anterior chamou de passo que ganha soluções. Partir do que se quer provar e chegar a $1=1$ ou a $0=0$ só prova alguma coisa se todos os passos forem $\Leftrightarrow$, e então seria melhor escrever a corrente na ordem certa, do conhecido para o desconhecido.

Exercício: uma corrente com etiquetas

Prove que $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ no formato de Dijkstra.

$$\begin{aligned} &(a-b)(a+b)\\ =\;&\{\text{distributiva}\}\\ &a(a+b)-b(a+b)\\ =\;&\{\text{distributiva}\}\\ &a^2+ab-ba-b^2\\ =\;&\{\text{comutativa: }ba=ab\text{, e }ab-ab=0\}\\ &a^2-b^2 \end{aligned}$$
Exercício: onde está o erro? (4 = 5)
$$\begin{aligned} -20&=-20\\ 16-36&=25-45\\ 16-36+\tfrac{81}4&=25-45+\tfrac{81}4\\ \left(4-\tfrac92\right)^2&=\left(5-\tfrac92\right)^2\\ 4-\tfrac92&=5-\tfrac92\\ 4&=5 \end{aligned}$$

As quatro primeiras linhas estão certas: os dois lados da quarta valem $\frac14$. O erro é tirar a raiz quadrada. De $x^2=y^2$ segue $x=y$ ou $x=-y$, e aqui $4-\frac92=-\frac12$ e $5-\frac92=\frac12$: vale a segunda opção, não a primeira. É o mesmo passo de elevar ao quadrado, lido ao contrário.

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