Os sinais mais simples da matemática são também os mais jovens. Euclides nunca escreveu um $+$. Al-Khwarizmi nunca escreveu um $=$. Viète, que já usava letras, ainda escrevia aequatur por extenso. Quase todos os sinais de operação que uma criança aprende no primeiro ano nasceram na Europa entre o fim do século XV e o fim do século XVII, num intervalo de uns duzentos anos.

  1. 1489
    Johannes Widmann imprime $+$ e $-$ num livro de aritmética comercial em Leipzig.
  2. 1525
    Christoff Rudolff usa $\surd$ para a raiz quadrada no seu livro de álgebra, o Coss.
  3. 1557
    Robert Recorde inventa o $=$ em The Whetstone of Witte.
  4. 1591
    François Viète usa letras para quantidades conhecidas e desconhecidas.
  5. 1631
    William Oughtred usa $\times$ para a multiplicação; no mesmo ano sai o livro póstumo de Thomas Harriot com $<$ e $>$.
  6. 1637
    René Descartes escreve as potências como expoentes: $x^3$, $x^4$.
  7. 1659
    Johann Rahn usa $\div$ para a divisão.
  8. 1698
    Leibniz propõe o ponto $\cdot$ para a multiplicação, para não confundir $\times$ com a letra $x$.

Mais e menos: marcas de armazém

Os sinais $+$ e $-$ aparecem impressos pela primeira vez em 1489, num manual de contas para comerciantes escrito por Johannes Widmann. Ali eles ainda não indicam bem uma operação: marcam excesso e falta. Uma caixa de mercadoria que pesava mais do que devia levava um $+$; uma que pesava menos, um $-$. A hipótese mais aceita é que o $+$ seja uma abreviação de et (“e”, em latim), escrita depressa até virar uma cruz.

Antes disso, na Itália, escrevia-se $\bar{p}$ (de plus) e $\bar{m}$ (de minus). As letras com um tracinho em cima conviveram com os sinais alemães por mais de um século.

Igual: duas paralelas gêmeas

Robert Recorde era médico em Londres e escrevia livros de matemática em inglês, numa época em que quase tudo se escrevia em latim. Em 1557, no livro The Whetstone of Witte (A pedra de afiar o juízo), cansado de escrever is equalle to em cada linha, ele explicou:

O trecho de *The Whetstone of Witte* (1557) em que Recorde apresenta o sinal de igual. Repare no comprimento das paralelas.
O trecho de The Whetstone of Witte (1557) em que Recorde apresenta o sinal de igual. Repare no comprimento das paralelas.Robert Recorde · Wikimedia Commons · domínio público

E para evitar a tediosa repetição destas palavras, “é igual a”, porei, como faço muitas vezes no trabalho, um par de paralelas, ou linhas gêmeas de um mesmo comprimento, assim: ═══, porque nenhuma coisa pode ser mais igual do que duas.

— Robert Recorde, The Whetstone of Witte (1557)

O argumento de Recorde é um argumento semiótico, e dos bons: o sinal se parece com aquilo que representa. Duas linhas exatamente iguais desenham a própria ideia de igualdade. Logo depois ele escreve a primeira equação com o sinal novo:

A primeira equação com sinal de igual, que hoje escrevemos 14x + 15 = 71. O sinal logo depois do 14 é o símbolo de Recorde para a incógnita (a “raiz”), e o ϑ marca os números simples.
A primeira equação com sinal de igual, que hoje escrevemos 14x + 15 = 71. O sinal logo depois do 14 é o símbolo de Recorde para a incógnita (a “raiz”), e o ϑ marca os números simples.Robert Recorde, 1557 · Wikimedia Commons · domínio público

O sinal de Recorde demorou para vencer. Descartes, oitenta anos depois, ainda usava outro símbolo, e no continente europeu o $=$ chegou a ser usado para indicar diferença ou paralelismo. Só por volta de 1700, quando Leibniz e os seus seguidores o adotaram, ele se tornou o padrão.

Vezes, dividir, maior e menor

Em 1631 saíram dois livros ingleses que completaram o quadro. Na Clavis mathematicae (A chave da matemática), o pastor William Oughtred usou a cruz $\times$ para a multiplicação. No mesmo ano foi publicado, dez anos depois da morte do autor, o Artis analyticae praxis de Thomas Harriot, que trazia os sinais $<$ e $>$. Harriot tinha sido astrônomo, cartógrafo e navegador, e passou um ano na expedição inglesa à Virgínia, na América do Norte.

Os sinais de Harriot são, de novo, ícones: a abertura fica do lado do número maior. Em $3<5$, o lado largo encara o $5$. É uma forma que se lê sem precisar decorar.

O $\div$, chamado óbelo, foi usado para dividir pelo suíço Johann Rahn em 1659. Antes disso, ele servia para marcar trechos suspeitos em manuscritos antigos. Hoje, fora da escola e das calculadoras, quase ninguém o usa: os matemáticos preferem a barra de fração, que, como veremos no capítulo 2, mostra a estrutura da expressão muito melhor.

O problema do ×

A cruz de Oughtred tinha um defeito que só apareceu quando a álgebra de Descartes se espalhou: ela é igualzinha à letra $x$. Em 1698, Leibniz escreveu a Johann Bernoulli:

Não gosto de × como símbolo da multiplicação, porque se confunde facilmente com x. Muitas vezes, simplesmente ligo duas quantidades por um ponto interposto.

— Leibniz, carta a Johann Bernoulli (1698)

O ponto de Leibniz pegou entre os matemáticos, e hoje convivemos com as três formas: $3\times4$ na escola, $3\cdot4$ nos livros e, entre letras, nada, só a justaposição: $ab$, $2x$. Cada escolha tem uma razão de ser, e cada uma tem armadilhas próprias.

Nenhum desses sinais foi inventado por uma comissão. Cada um foi proposto por alguém que tinha um problema prático, usado em um livro, copiado por leitores, contestado por concorrentes e, às vezes, esquecido. Um sinal só vira “o” sinal quando uma comunidade inteira aprende a lê-lo do mesmo jeito.

Exercício: resolva a equação de Recorde

A primeira equação com sinal de igual é $14x+15=71$. Tirando $15$ dos dois lados: $14x=56$. Dividindo por $14$: $x=4$. Conferindo: $14\cdot4+15=56+15=71$.

Exercício: o problema de Leibniz

Leia “$2x \times 3$” em voz alta. Num texto à mão, é fácil confundir com $2x\,x\,3$, ou seja, $2x^2\cdot3$. Com o ponto, $2x\cdot3=6x$ fica sem ambiguidade. E sem nenhum sinal, $2x3$ não serve, porque se confunde com um número, ou com um índice. Por isso se escreve o número na frente: $6x$.

Fontes: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1928–1929) · Earliest Uses of Symbols of Operation, Jeff Miller · Robert Recorde, MacTutor.

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