Euler's Eyes
2026-10-16
Exemplos não provam: Euler, Pascal e a indução
Calcule $n^2+n+41$ para $n=0,1,2,3,\ldots$
$$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$São todos primos. Continue até $n=39$, e o resultado, $1601$, ainda é primo. Quarenta casos seguidos, nenhuma exceção. Em 1772, Leonhard Euler chamou a atenção para essa fórmula notável. E, mesmo assim, ela não gera só primos: com $n=40$,
$$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$Quarenta exemplos não provaram nada. Um contraexemplo derrubou tudo.
A tentação dos casos
O polinômio de Euler não é uma curiosidade isolada. Em 1640, Pierre de Fermat observou que os números $2^{2^n}+1$ davam
$$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537,$$todos primos, e conjecturou que todos os números dessa forma seriam primos. Em 1732, Euler mostrou que o seguinte, $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$, é igual a $641\cdot6\,700\,417$. Até hoje não se conhece nenhum outro primo dessa forma.
Os alunos sentem a mesma tentação. Num estudo publicado em 2000, as pesquisadoras inglesas Lulu Healy e Celia Hoyles pediram a cerca de 2 500 alunos de 14 e 15 anos que avaliassem vários argumentos para a afirmação “a soma de dois números pares é sempre par”. Muitos preferiam os argumentos que conferiam exemplos ($2+4=6$, $10+12=22$, …) porque os entendiam; ao mesmo tempo, achavam que o argumento algébrico, com $2a+2b=2(a+b)$, era o que o professor daria nota mais alta. Para eles, a prova algébrica era uma formalidade que se faz para o professor, e os exemplos eram o que de fato convencia.
A reticência esconde uma regra
O sinal mais perigoso desta página é o mais discreto: as reticências, $\ldots$ Quando se escreve
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,$$os três pontinhos pedem ao leitor que adivinhe a regra a partir de alguns termos e a estenda para sempre. É uma notação econômica e, ao mesmo tempo, uma promessa: “o padrão continua”. Mas o polinômio de Euler mostra que padrões podem parar de continuar.
A fórmula acima se confere fácil nos primeiros casos: $1=1^2$, $1+3=4=2^2$, $1+3+5=9=3^2$. Uma figura sugere por quê: cada número ímpar é uma camada em forma de L que transforma um quadrado no quadrado seguinte.
A figura é convincente, mas ainda é uma figura, com cinco camadas. Como transformar o “e assim por diante” em certeza?
Os dois lemas de Pascal
A resposta mais clara veio de Blaise Pascal, no Tratado do triângulo aritmético, escrito em 1654. Ao provar uma propriedade que valia em todas as linhas do triângulo, ele escreveu:
Embora esta proposição tenha uma infinidade de casos, darei dela uma demonstração bem curta, supondo dois lemas. O primeiro, que é evidente por si mesmo, que esta proporção se encontra na segunda base. O segundo, que se esta proporção se encontra numa base qualquer, ela se encontrará necessariamente na base seguinte.
— Blaise Pascal, Tratado do triângulo aritmético, consequência 12
É o princípio da indução matemática, com as suas duas peças. A base: a afirmação vale no primeiro caso. O passo: se vale num caso qualquer, vale no seguinte. Com as duas peças, a afirmação vale em todos os casos, como uma fila de dominós em que o primeiro cai e cada um derruba o próximo.
Veja a indução aplicada à soma dos ímpares.
- Base. Para $n=1$: $1=1^2$. Vale.
- Passo. Suponha que $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$ para um certo $k$. Somando o próximo ímpar, $2k+1$, aos dois lados:
Vale para $k+1$. Pelo princípio de indução, vale para todo $n$. $\blacksquare$
Repare no que aconteceu com as reticências. Antes, elas pediam ao leitor que confiasse no padrão. Depois da indução, o padrão foi descrito por uma regra explícita, “de $k$ para $k+1$, some $2k+1$”, e provado. A prova é a camada em forma de L da figura, escrita em álgebra: $k^2+(2k+1)=(k+1)^2$. Figura e indução dizem a mesma coisa, mas só a segunda vale para todas as camadas de uma vez.
Exercício: Euler falha de novo
Mostre, sem calculadora, que $n^2+n+41$ não é primo para $n=41$. Basta pôr $41$ em evidência: $41^2+41+41=41\cdot(41+1+1)=41\cdot43$. A forma da expressão já denuncia o fator. Para $n=40$, o truque é outro: $40^2+40+41=40\cdot41+41=41\cdot41$.
Exercício: a soma de Gauss por indução
Prove que $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ para todo $n\geq1$.
Base: para $n=1$, $1=\frac{1\cdot2}2$. Passo: suponha que $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$. Somando $k+1$:
$$\frac{k(k+1)}2+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}2=\frac{(k+1)(k+2)}2,$$que é a fórmula com $k+1$ no lugar de $k$. Pelo princípio de indução, vale para todo $n$. $\blacksquare$
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