Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal.

Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

As cônicas

Corte um cone com um plano. Conforme a inclinação, a borda do corte é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole; o círculo é um caso particular da elipse. Essas curvas, as cônicas, eram estudadas desde Apolônio, no século III a.C.

Desargues teve uma ideia que mudou o assunto: olhar as cônicas como sombras de um círculo. Se você ilumina um círculo com uma lanterna, a sombra numa parede pode ser uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. Então uma propriedade do círculo que fale só de pontos e retas, sem medir distâncias nem ângulos, sobrevive na sombra e vale para todas as cônicas. Essa é a ideia da geometria projetiva.

O teorema do hexágono

Marque seis pontos $A,B,C,D,E,F$ numa cônica, nessa ordem, e ligue-os formando um hexágono. Os lados opostos são $AB$ e $DE$, $BC$ e $EF$, $CD$ e $FA$. Prolongue cada par até se encontrarem:

$$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$

O teorema de Pascal diz que os três pontos $P$, $Q$ e $R$ estão sempre numa mesma reta.

Os seis pontos podem estar em qualquer ordem na curva, e o hexágono pode até cruzar a si mesmo. Se dois lados opostos forem paralelos, o encontro deles é um “ponto no infinito”, e a reta passa a ser paralela a eles. Pascal chamou a figura de hexagrama místico.

Conferindo numa parábola

Vamos testar o teorema com contas. Escolhemos seis pontos na parábola $y=x^2$, com abscissas $0,1,2,3,4,7$:

$$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$

Primeiro, um atalho. A reta que passa pelos pontos da parábola de abscissas $u$ e $v$ é

$$y=(u+v)x-uv.$$

De fato, em $x=u$ ela dá $u^2+uv-uv=u^2$, e em $x=v$ dá $v^2$. Agora calculamos os três encontros.

Ponto P. $AB$ tem $u=0,v=1$: $y=x$. $DE$ tem $u=3,v=4$: $y=7x-12$. Igualando, $x=7x-12$, então $x=2$ e $P=(2,2)$.

Ponto Q. $BC$ é $y=3x-2$ e $EF$ é $y=11x-28$. Igualando, $8x=26$, então $x=\frac{13}{4}$ e $Q=\left(\frac{13}{4},\frac{31}{4}\right)$.

Ponto R. $CD$ é $y=5x-6$ e $FA$ é $y=7x$. Igualando, $-2x=6$, então $x=-3$ e $R=(-3,-21)$.

A reta de Pascal

Os três pontos estão na reta

$$5y=23x-36.$$

Em $P$: $5\cdot2=10$ e $23\cdot2-36=10$. Em $Q$: $5\cdot\frac{31}{4}=\frac{155}{4}$ e $23\cdot\frac{13}{4}-36=\frac{299-144}{4}=\frac{155}{4}$. Em $R$: $5\cdot(-21)=-105$ e $23\cdot(-3)-36=-105$. Os três conferem.

Seis pontos escolhidos quase ao acaso, três cruzamentos com frações, e tudo cai na mesma reta. Uma conta não prova o teorema para todas as cônicas, mas mostra que ele não é óbvio: não há nenhuma simetria aparente que force aquela reta.

Antes e depois de Pascal

Por volta do ano 300, Papo de Alexandria já tinha provado um caso especial: quando a “cônica” é um par de retas, com três pontos em cada uma. Pascal viu que o mesmo vale para qualquer cônica. Em 1806, o francês Charles Brianchon provou a versão “ao contrário”: num hexágono cujos lados tocam uma cônica, as três diagonais principais passam por um mesmo ponto.

Exercício: obtenha a reta entre os pontos (1, 1) e (3, 9) da parábola

Com $u=1$ e $v=3$, a fórmula dá $y=4x-3$. Em $x=1$, $y=1$; em $x=3$, $y=9$. Os dois pontos estão na reta.

Exercício: em que ponto se cruzam as retas AB e CD do exemplo?

$AB$ é $y=x$ e $CD$ é $y=5x-6$. Igualando, $x=5x-6$, então $x=\frac32$ e o ponto é $\left(\frac32,\frac32\right)$.

Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · biografia de Desargues, MacTutor.

Todos os tópicos de Pascal · ← A Pascalina: uma soma feita por engrenagens · A cicloide: a curva da dor de dente →

Créditos das imagens.