Euler's Eyes
2026-10-20
Função cosseno: coordenada horizontal e gráfico
A largura com sinal
Para $P=(u,v)$ no ciclo, definimos $\cos x=u$. O cosseno é positivo no semicírculo direito e negativo no esquerdo. Seu domínio é $\mathbb R$ e sua imagem é $[-1,1]$.
Os pontos dos eixos fornecem:
| $x$ | $0$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Os zeros são $x=\pi/2+k\pi$. Os máximos ocorrem em $x=2k\pi$ e os mínimos em $x=\pi+2k\pi$, com $k\in\mathbb Z$.
Demonstração da paridade e do período
Os pontos de $x$ e $-x$ são reflexos no eixo horizontal. Sua coordenada horizontal é igual:
$$\cos(-x)=\cos x.$$Assim, o cosseno é par. Uma volta completa conserva a coordenada, então $\cos(x+2\pi)=\cos x$. Para existir um período positivo $T$, em particular deve valer $\cos T=\cos0=1$. O menor $T>0$ com esse valor é $2\pi$, que é seu período fundamental.
Crescimento e decrescimento
Enquanto o ponto percorre o semicírculo superior da direita para a esquerda, sua coordenada horizontal cai de 1 a $-1$. Por isso, o cosseno decresce em $[2k\pi,\pi+2k\pi]$. No semicírculo inferior ele cresce, em $[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]$.
Relação com o seno
Uma rotação de $\pi/2$ troca a posição horizontal com a altura, respeitando o sentido da rotação. Como consequência:
$$\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right).$$Os dois gráficos têm a mesma forma e estão deslocados horizontalmente. Não se deve concluir que seus valores são iguais para a mesma entrada: em $x=0$, o seno é 0 e o cosseno é 1.
Por exemplo, $f(x)=3\cos(2x)+1$ tem amplitude 3, período $\pi$ e imagem $[-2,4]$.
No dia a dia
- Painéis solares. A potência recebida é proporcional ao cosseno do ângulo de incidência: é máxima com o Sol de frente e cai a zero com o Sol rente ao painel.
- Pistão do motor. A posição do pistão acompanha aproximadamente $r\cos\theta$, em que $\theta$ é o giro do eixo.
- Projeções. A sombra de uma vara de comprimento $L$ inclinada de $\alpha$, com o Sol a pino, mede $L\cos\alpha$.
Exercícios com resolução
1. Calcule $\cos(-5\pi/3)$.
Conferir resolução 1
Pela paridade, é $\cos(5\pi/3)=1/2$.
2. Em quais reais o cosseno vale $-1$?
Conferir resolução 2
$x=\pi+2k\pi$, com $k\in\mathbb Z$.
No livro interativo
Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:
Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.