Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $x$, com $x$ fora do 1º quadrante, relacionando $x$ com algum número do 1º quadrante. A meta é conhecer $\operatorname{sen} x$, $\cos x$ e $\operatorname{tg} x$ a partir de uma tábua que dá as funções circulares dos reais entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$.

Arraste $P$ por todos os quadrantes. O ponto $P'$ do 1º quadrante é o simétrico de $P$; compare os valores de seno e cosseno no painel.

A história

As tábuas trigonométricas sempre cobriram só um pedaço da volta: a de Aryabhata ia de $0^\circ$ a $90^\circ$, e para os outros arcos o astrônomo usava as simetrias do círculo. O que faltava era uma regra para os sinais. Enquanto seno e cosseno foram comprimentos de segmentos, eles eram sempre positivos, e cada quadrante exigia um raciocínio à parte. A mudança veio com a aceitação dos números negativos como algo que tem sentido geométrico. Em 1629, o francês Albert Girard escreveu que uma solução negativa, em geometria, “indica um retrocesso” — quem anda $-3$ passos anda 3 passos para trás. É exatamente a ideia que dá sinal às coordenadas de um ponto do ciclo e, com isso, às funções circulares em cada quadrante. Euler, no século seguinte, organizou as regras de sinais na forma que usamos.

  1. 628
    O indiano Brahmagupta dá regras para operar com “dívidas” (negativos) e “fortunas” (positivos).
  2. 1545
    Cardano ainda chama as raízes negativas de numeri ficti, números fictícios.
  3. 1629
    Albert Girard: em geometria, o negativo “indica um retrocesso”.
  4. 1637
    Descartes publica A geometria, que dá origem às coordenadas.
  5. 1748
    Euler organiza os sinais das funções circulares nos quatro quadrantes.

Fontes: Girard (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor).

No dia a dia

  • Calculadoras. Para calcular $\operatorname{sen} 1000^\circ$, a máquina primeiro tira as voltas ($1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ$) e depois reduz ao 1º quadrante: $\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen} 80^\circ$.
  • Navegação. Andar 10 km no rumo $225^\circ$ (sudoeste, medido a partir do leste) desloca $10\cos 225^\circ \approx -7{,}07$ km na direção leste e $10\operatorname{sen} 225^\circ \approx -7{,}07$ km na direção norte: os sinais dizem “para oeste” e “para o sul”.
  • Jogos. Um personagem virado para $150^\circ$ anda na direção $(\cos 150^\circ, \operatorname{sen} 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$: para a esquerda e um pouco para cima.
Num rumo de qualquer quadrante, os sinais do cosseno e do seno dizem se o barco vai para leste ou oeste, norte ou sul.

Teoria

Do 2º ao 1º quadrante

Dado $x$ com $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, seja $P$ a sua imagem no ciclo e $P'$ o ponto do ciclo simétrico de $P$ em relação ao eixo dos senos. No sentido anti-horário, $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA'} = \pi$; como $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA'}$, vem $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \pi$, portanto $\overset{\frown}{AP'} = \pi - x$.

Como $P$ e $P'$ têm a mesma ordenada e abscissas opostas:

Propriedade2º quadrante

$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x) \qquad \cos x = -\cos(\pi - x)$$

e, pelas relações fundamentais,

$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\operatorname{sen}(\pi - x)}{-\cos(\pi - x)} = -\operatorname{tg}(\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(\pi - x) \qquad \sec x = -\sec(\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}(\pi - x).$$

ExemploExemplos

$$\operatorname{sen} 115^\circ = \operatorname{sen}(180^\circ - 115^\circ) = \operatorname{sen} 65^\circ \qquad \cos 130^\circ = -\cos(180^\circ - 130^\circ) = -\cos 50^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\operatorname{tg}\left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \operatorname{cotg}\frac{4\pi}{5} = -\operatorname{cotg}\left(\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = -\operatorname{cotg}\frac{\pi}{5}$$

Do 3º ao 1º quadrante

Dado $x$ com $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, seja $P$ a sua imagem e $P'$ o ponto do ciclo simétrico de $P$ em relação ao centro. No sentido anti-horário, $\overset{\frown}{AP} - \overset{\frown}{AP'} = \pi$, portanto $\overset{\frown}{AP'} = x - \pi$.

$P$ e $P'$ têm abscissas e ordenadas opostas:

Propriedade3º quadrante

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi) \qquad \cos x = -\cos(x - \pi)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(x - \pi)}{-\cos(x - \pi)} = \operatorname{tg}(x - \pi)$$$$\operatorname{cotg} x = \operatorname{cotg}(x - \pi) \qquad \sec x = -\sec(x - \pi) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(x - \pi).$$

ExemploExemplos

$$\operatorname{sen} 210^\circ = -\operatorname{sen}(210^\circ - 180^\circ) = -\operatorname{sen} 30^\circ \qquad \cos 225^\circ = -\cos(225^\circ - 180^\circ) = -\cos 45^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \sec\frac{7\pi}{6} = -\sec\left(\frac{7\pi}{6} - \pi\right) = -\sec\frac{\pi}{6}$$

Do 4º ao 1º quadrante

Dado $x$ com $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, seja $P$ a sua imagem e $P'$ o ponto do ciclo simétrico de $P$ em relação ao eixo dos cossenos. No sentido anti-horário, $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA} = 2\pi$; como $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA}$, vem $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = 2\pi$, portanto $\overset{\frown}{AP'} = 2\pi - x$.

$P$ e $P'$ têm a mesma abscissa e ordenadas opostas:

Propriedade4º quadrante

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x) \qquad \cos x = \cos(2\pi - x)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(2\pi - x)}{\cos(2\pi - x)} = -\operatorname{tg}(2\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(2\pi - x) \qquad \sec x = \sec(2\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(2\pi - x).$$

ExemploExemplos

$$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen}(360^\circ - 280^\circ) = -\operatorname{sen} 80^\circ \qquad \cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 340^\circ) = \cos 20^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{11\pi}{6} = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} \qquad \operatorname{cossec}\frac{5\pi}{3} = -\operatorname{cossec}\left(2\pi - \frac{5\pi}{3}\right) = -\operatorname{cossec}\frac{\pi}{3}$$

ResumoRegra prática

  1. Se o arco tem mais de uma volta, retire as voltas inteiras (some ou subtraia múltiplos de $360^\circ$ ou $2\pi$).
  2. Ache o arco do 1º quadrante correspondente: $180^\circ - x$ (2º), $x - 180^\circ$ (3º) ou $360^\circ - x$ (4º).
  3. O valor absoluto da função é o mesmo; o sinal é o da função no quadrante de $x$.

O exercício desta seção é o de número 117 da lista do capítulo.