Duas perguntas que parecem iguais:

Pergunta Resposta
Quanto vale $\sqrt9$? $3$
Quais números reais satisfazem $x^2=9$? $3$ e $-3$

Muita gente estranha a primeira linha. Se $(-3)^2$ também dá $9$, por que $\sqrt9$ não é “$\pm3$”? A resposta está no capítulo 1, no nome antigo do símbolo. Radix quadrati era o lado do quadrado. Um quadrado de área $9$ tem lado $3$, e lado nenhum mede $-3$.

O lado de um quadrado de área 9 mede 3. A equação x² = 9 tem duas soluções, mas o lado é um só.
O lado de um quadrado de área 9 mede 3. A equação x² = 9 tem duas soluções, mas o lado é um só.Diagrama didático produzido para este livro.

Um sinal, um valor

A matemática moderna guardou a memória do quadrado numa definição: para $a\ge0$, o símbolo $\sqrt a$ indica o único número não negativo cujo quadrado é $a$. Há também uma razão de sintaxe para isso. Um sinal que, ao receber um número, devolvesse às vezes um, às vezes dois valores, não poderia entrar em contas: o que seria $\sqrt9+1$? $4$ ou $-2$? Para que $\sqrt{\phantom{a}}$ funcione como as outras operações, ele precisa dar uma resposta, e a geometria diz qual.

Isso não apaga o $-3$. Ele continua sendo solução de $x^2=9$, e a escrita que mostra as duas soluções é

$$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ ou }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3.$$

O $\pm$ aparece fora da raiz, porque é a equação, e não o símbolo, que tem duas soluções. É por isso que a fórmula de Bhaskara tem um $\pm$ escrito na frente do radical: o radical sozinho dá um valor, e o $\pm$ pede os dois.

√(x²) não é x

Uma consequência que pega muita gente: quanto vale $\sqrt{x^2}$? A tentação é “cancelar” a raiz com o quadrado e escrever $x$. Teste com $x=-5$:

$$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\ne-5.$$

A raiz devolve sempre o lado, que é positivo. O certo é

$$\sqrt{x^2}=|x|,$$

o valor absoluto de $x$. Aqui a notação ativa faz uma armadilha: a forma de $\sqrt{x^2}$ sugere um cancelamento que só vale quando $x\ge0$.

A diagonal que não cabe

O lado do quadrado esconde ainda outra surpresa. Um quadrado de lado $1$ tem diagonal $d$, e, pelo teorema de Pitágoras, $d^2=1^2+1^2=2$. Logo a diagonal é o lado de um quadrado de área $2$:

$$d=\sqrt2=1{,}41421356\ldots$$

Os gregos descobriram, provavelmente no século V a.C., que esse número não é uma fração: não existem inteiros $p$ e $q$ com $\left(\frac pq\right)^2=2$. Conta a lenda que Hipaso de Metaponto, um pitagórico, foi jogado ao mar por revelar o segredo. É só uma lenda, mas mostra o tamanho do choque: um segmento que se pode desenhar com régua tinha um comprimento que nenhuma fração escrevia.

Aqui o símbolo faz um trabalho enorme. A escrita decimal $1{,}41421356\ldots$ nunca termina e nunca se repete. A escrita $\sqrt2$ é exata e cabe em dois caracteres. Ela não diz quanto o número vale, mas diz o que ele é: o lado do quadrado de área $2$. Com esse nome, dá para fazer contas exatas, como $\left(\sqrt2\right)^2=2$ ou $\sqrt8=2\sqrt2$, sem nunca escrever uma casa decimal.

O sinal e o seu objeto

Em linguagem semiótica, o problema da raiz quadrada é um caso de semântica: o mesmo desenho $\sqrt{\phantom{a}}$ tem um objeto preciso, fixado por uma definição, e esse objeto não coincide com o que a forma parece sugerir. A figura do quadrado não prova nada sobre números negativos, mas é ela que explica por que a definição é como é. Um símbolo que perde a memória da sua origem fica mais rápido de usar e mais fácil de usar errado. Recuperar essa memória, como os antigos textos deste site insistiam, é uma maneira de devolver ao símbolo a sua parte ativa.

Exercício: raiz e valor absoluto

Calcule $\sqrt{x^2-6x+9}$ para $x=1$ e para $x=5$.

Como $x^2-6x+9=(x-3)^2$, temos $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$. Para $x=1$: $|1-3|=2$. Para $x=5$: $|5-3|=2$. Conferindo direto: para $x=1$, $1-6+9=4$ e $\sqrt4=2$; para $x=5$, $25-30+9=4$ e $\sqrt4=2$. Quem tivesse “cancelado” a raiz teria escrito $x-3$ e obtido $-2$ para $x=1$, um valor impossível para uma raiz.

Exercício: o lado de um quadrado de área 50

O lado é $\sqrt{50}$. Como $50=25\cdot2$ e $25$ e $2$ são positivos, $\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2\approx5\cdot1{,}4142=7{,}071$. Geometricamente: um quadrado de área $50$ é a metade de um quadrado de lado $10$ (área $100$), e o seu lado é metade da diagonal desse quadrado grande, $\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2$.

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