Euler's Eyes
2026-10-11
Exercícios do capítulo 5 — Paralelismo
Exercícios e resoluções
Sendo a reta $a$ paralela à reta $b$, determine $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $50^{\circ}$ · b) $60^{\circ}$
Se as retas $r$ e $s$ são paralelas, determine $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $60^{\circ}$ · b) $70^{\circ}$
As retas $r$ e $s$ da figura são paralelas. Determine $x$ e $y$.
Ver resposta
a) $x = 120^{\circ}$, $y = 75^{\circ}$ · b) $x = 20^{\circ}$, $y = 50^{\circ}$
Na figura, sendo $a \parallel b$, calcule $\alpha + \beta - \gamma$.
Ver resposta
$30^{\circ}$
A soma dos quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal é igual a $80^{\circ}$. Determine o ângulo obtuso.
Ver resposta
$160^{\circ}$
Sendo $a$ paralela a $b$, calcule $x$.
Ver resposta
$x = 45^{\circ}$
Na figura, sendo $a \parallel b$, calcule $x$.
Ver resposta
$x = 7^{\circ}12^{\prime}$
Na figura, sendo $r \parallel s$, calcule $x$ e $y$.
Ver resposta
$x = 20^{\circ}$ e $y = 30^{\circ}$
Na figura temos os ângulos $\alpha$ e $\beta$ de lados respectivamente paralelos. Sendo $\alpha = 8x$ e $\beta = 2x + 30^{\circ}$, determine o suplemento de $\beta$.
Ver resposta
$140^{\circ}$ ($x = 5$, $\alpha = \beta = 40^{\circ}$).
Calcule o valor de $x + y$, sendo $r \parallel s$ e $t \parallel v$.
Ver resposta
$x + y = 180^{\circ}$
Se as retas $r$ e $s$ são paralelas, determine $x$, $y$ e $z$ nos casos:
Ver resposta
a) $x = 50^{\circ}$, $y = 60^{\circ}$, $z = 70^{\circ}$ · b) $x = 40^{\circ}$, $y = z = 120^{\circ}$
Determine o valor de $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $50^{\circ}$ · b) $40^{\circ}$
Determine $y$ nos casos:
Ver resposta
a) $110^{\circ}$ · b) $120^{\circ}$
Determine $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $60^{\circ}$ · b) $50^{\circ}$
Determine $x$ e $y$ nos casos:
Ver resposta
a) $x = 30^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$ · b) $x = 30^{\circ}$, $y = 30^{\circ}$
Determine os ângulos do triângulo nos casos:
Ver resposta
a) $40^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $90^{\circ}$
Se o triângulo $ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$, determine $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $40^{\circ}$ · b) $45^{\circ}$ · c) $120^{\circ}$ · d) $105^{\circ}$
Determine $\alpha + \beta + \gamma$ nos casos:
Ver resposta
a) $360^{\circ}$ · b) $900^{\circ}$
O triângulo $ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$. Determine o valor de $x$ nos casos:
Ver resposta
a) $50^{\circ}$ · b) $36^{\circ}$ · c) $70^{\circ}$
Determine o valor da incógnita (segmentos com “marcas iguais” são congruentes).
Ver resposta
a) $30^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$ · c) $80^{\circ}$ · d) $36^{\circ}$ · e) $105^{\circ}$ · f) $25^{\circ}$ · g) $x = 30^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$ · h) $x = 15^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$
Na figura abaixo, $\overline{ED}$ é paralela a $\overline{BC}$. Sendo $B\hat{A}E$ igual a $80^{\circ}$ e $A\hat{B}C$ igual a $35^{\circ}$, calcule a medida de $A\hat{E}D$.
Ver a resolução do livro
Basta prolongar $\overline{DE}$ até que a reta $DE$ encontre $\overline{AB}$ num ponto $P$. Note que $x$ é ângulo externo do triângulo $APE$. Então $\alpha = 35^{\circ}$ (correspondente a $\hat{B}$, pois $\overleftrightarrow{DE} \parallel \overleftrightarrow{BC}$) e
$$x = \alpha + 80^{\circ} = 35^{\circ} + 80^{\circ} = 115^{\circ}.$$Determine o valor de $x$ e $y$, sendo $r \parallel s$.
Ver resposta
$x = 10^{\circ}$ e $y = 150^{\circ}$
Calcule o valor de $x$, sendo $r \parallel s$.
Ver resposta
$x = 72^{\circ}$
Se $r \parallel s$, calcule $\alpha$.
Ver resposta
$\alpha = 100^{\circ}$
Na figura abaixo, as retas $r$ e $s$ são paralelas. Calcule $\alpha$.
Ver resposta
$\alpha = 52^{\circ}$
Na figura, calcule a medida do ângulo $\alpha$, sendo $r \parallel s$.
Ver resposta
$\alpha = 100^{\circ}$
Na figura, $\overline{AB}$ é paralelo a $\overline{CD}$. Sendo $C\hat{D}B = 150^{\circ}$ e $A\hat{B}C = 25^{\circ}$, calcule $C\hat{B}D$.
Ver resposta
$C\hat{B}D = 5^{\circ}$
Determine o valor de $x$.
Ver resposta
$x = 60^{\circ}$
Calcule $x$ no triângulo $ABC$ da figura.
Ver resposta
$x = 15^{\circ}$
Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 2, 3 e 4, respectivamente. Determine a medida do maior deles.
Ver resposta
$80^{\circ}$
Nos exercícios 160, 161 e 162, calcule a(s) incógnita(s) no triângulo $ABC$.
Ver resposta
$x = 110^{\circ}$
Sendo $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$:
Ver resposta
$x = 55^{\circ}$ e $y = 70^{\circ}$
Ver resposta
$x = 70^{\circ}$
Na figura, o triângulo $ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$. Calcule o valor de $x$.
Ver resposta
$x = 65^{\circ}$
Calcule $x$ e $y$ indicados na figura abaixo.
Ver resposta
$x = 70^{\circ}$ e $y = 125^{\circ}$
A figura mostra um triângulo $ABC$, isósceles, de base $\overline{BC}$. Sendo $\overline{BD}$ bissetriz de $A\hat{B}C$ e $\overline{CD}$ bissetriz de $A\hat{C}B$, calcule o valor de $x$.
Ver resposta
$x = 130^{\circ}$
O triângulo $ACD$ da figura é isósceles de base $\overline{AD}$. Sendo $12^{\circ}$ a medida do ângulo $B\hat{A}D$ e $20^{\circ}$ a medida do ângulo $A\hat{B}C$, calcule a medida do ângulo $A\hat{C}D$.
Ver resposta
$A\hat{C}D = 116^{\circ}$
Um ângulo externo da base de um triângulo isósceles é os $\dfrac{5}{4}$ do ângulo do vértice. Calcule os ângulos desse triângulo.
Ver resposta
$120^{\circ}$, $30^{\circ}$ e $30^{\circ}$
Num triângulo isósceles $ABC$, o ângulo do vértice $A$ vale $\dfrac{1}{10}$ da soma dos ângulos externos em $B$ e $C$. Sendo $\overline{BC}$ a base do triângulo, determine o ângulo $\hat{A}$.
Ver resposta
$\hat{A} = 20^{\circ}$
Num triângulo $ABC$, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ excede o ângulo $\hat{A}$ em $76^{\circ}$. Determine $\hat{A}$.
Ver resposta
$\hat{A} = 28^{\circ}$
Prove que no triângulo $ABC$ da figura vale a relação $\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$, sendo $\overline{AD}$ bissetriz do ângulo $B\hat{A}C$.
Ver resposta
$\alpha$ é externo no $\triangle ABD$: $\alpha = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{B}$. $\beta$ é externo no $\triangle ACD$: $\beta = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{C}$. Subtraindo, $\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$.
Num triângulo $ABC$, o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$, oposto a $\overline{BC}$, é o quíntuplo do ângulo $\hat{A}$. Determine a medida do ângulo $\hat{A}$.
Ver resposta
$\hat{A} = 20^{\circ}$
Na figura, calcule o valor de $x$ em função de $m$.
Ver resposta
$x = 2m$
Num triângulo $ABC$ qualquer, o ângulo oposto a $\overline{BC}$ formado pelas bissetrizes dos ângulos internos em $B$ e $C$ é igual ao suplemento do complemento da metade do ângulo do vértice $A$.
Ver a resolução do livro
Em problemas cujo enunciado é uma proposição, pede-se a demonstração da propriedade. Sejam $b$ e $c$ as metades de $\hat{B}$ e $\hat{C}$ e $x = B\hat{D}C$, em que $D$ é o encontro das bissetrizes.
$$\triangle DBC:\ x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} - (b + c)$$$$\triangle ABC:\ 2b + 2c + \hat{A} = 180^{\circ} \Rightarrow b + c = 90^{\circ} - \frac{\hat{A}}{2}$$
Logo $x = 180^{\circ} - \left(90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}\right)$: o suplemento do complemento de $\dfrac{\hat{A}}{2}$. (Em outras palavras, $x = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$ — teste no exercício 165!)
Na figura, calcule o ângulo $x$, sendo $\alpha$ o triplo de $\beta$ e $\gamma$ o sêxtuplo de $\beta$.
Ver resposta
$x = 50^{\circ}$
Em um triângulo $ABC$, o ângulo do vértice $A$ é igual à oitava parte do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos adjacentes a $\overline{BC}$. Determine a medida do ângulo do vértice $A$.
Ver resposta
$12^{\circ}$
Um ângulo externo do vértice de um triângulo isósceles mede $150^{\circ}$. Determine: a) os ângulos do triângulo; b) o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos da base do triângulo; c) os ângulos formados pela bissetriz de um dos ângulos da base e pela bissetriz do ângulo do vértice.
Ver resposta
a) $30^{\circ}$, $75^{\circ}$ e $75^{\circ}$ · b) $105^{\circ}$ · c) $52^{\circ}30^{\prime}$ e $127^{\circ}30^{\prime}$
Determine a medida do menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices $B$ e $C$ de um triângulo $ABC$, sabendo que o ângulo $\hat{A}$ mede $76^{\circ}$.
Ver a resolução do livro
Sejam $b$ e $c$ as metades dos ângulos externos em $B$ e $C$ e $x$ o ângulo pedido.
- $\hat{B} + \hat{C} + 76^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 104^{\circ}$.
- $2b + \hat{B} = 180^{\circ}$ e $2c + \hat{C} = 180^{\circ}$; somando, $2(b + c) + 104^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow b + c = 128^{\circ}$.
- No triângulo formado pelas bissetrizes externas e $\overline{BC}$: $x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 52^{\circ}$.
Determine as medidas dos três ângulos de um triângulo, sabendo que o segundo é os $\dfrac{3}{2}$ do primeiro e que o terceiro é a semissoma dos dois primeiros.
Ver resposta
$48^{\circ}$, $72^{\circ}$ e $60^{\circ}$
Os três ângulos de um triângulo são tais que o segundo mede $28^{\circ}$ menos que o primeiro e o terceiro $10^{\circ}$ mais que o primeiro. Determine os três ângulos do triângulo.
Ver resposta
$66^{\circ}$, $38^{\circ}$ e $76^{\circ}$
Em um triângulo isósceles, o ângulo do vértice é a metade de cada um dos ângulos da base. Determine os três ângulos do triângulo.
Ver resposta
$36^{\circ}$, $72^{\circ}$ e $72^{\circ}$
Determine o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos colaterais internos de duas retas paralelas interceptadas por uma transversal qualquer.
Ver resposta
$90^{\circ}$
Na figura, determine a medida do ângulo $\alpha$ em função de $m$, sendo $\hat{A} = 3m$, $\hat{B} = 2m$, $\hat{D} = m$ e $B\hat{C}D = \alpha$.
Ver resposta
$\alpha = 6m$
Num triângulo $ABC$ qualquer, o ângulo, oposto a $\overline{BC}$, formado pelas bissetrizes dos ângulos externos em $B$ e $C$ é igual ao complemento da metade do ângulo do vértice $A$ do triângulo.
Ver resposta
Faça como no exercício 173, agora com as bissetrizes externas: o ângulo é $90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}$.
Na figura, sendo $\overline{AB}$ congruente a $\overline{AC}$ e $\overline{AE}$ congruente a $\overline{AD}$, calcule a medida do ângulo $C\hat{D}E$, dado $B\hat{A}D = 48^{\circ}$.
Ver resposta
$C\hat{D}E = 24^{\circ}$
Determine a medida do ângulo do vértice $A$ do triângulo isósceles $ABC$, sabendo que os segmentos $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EF}$ e $\overline{FA}$ são congruentes.
Ver resposta
$\hat{A} = 20^{\circ}$
Na figura, o triângulo $ABC$ é equilátero e o triângulo $CDB$ é isósceles. Calcule o valor de $2x + y$, sendo $B\hat{C}D = x$ e $A\hat{B}D = y$.
Ver resposta
$2x + y = 195^{\circ}$
Considere o triângulo $ABC$, em que $AB = AC = 5$ cm e $BC = 7$ cm. Sobre o lado $\overline{BC}$ tomamos um ponto $D$ tal que $BD = 3$ cm e pelo ponto $D$ traçamos $\overline{DE}$ e $\overline{DF}$ respectivamente paralelos a $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$, com $E$ em $\overline{AB}$ e $F$ em $\overline{AC}$. Calcule o perímetro de $AEDF$.
Ver resposta
10 cm
Da figura, sabemos que $AB = AC$, $\hat{A} = 100^{\circ}$ e $AD = BC$. Determine $x = C\hat{B}D$.
Ver a resolução do livro
- Indiquemos $AB = AC = b$ e $CD = a$; então $BC = AD = a + b$.
- Tracemos $\overline{AP}$ com $AP = b$, de modo que $B\hat{A}P = 60^{\circ}$: o triângulo $APB$ é equilátero de lado $b$.
- Nos triângulos $PAD$ e $ABC$: $PA = AB = b$, $P\hat{A}D = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ} = A\hat{B}C$ e $AD = BC$. Pelo caso LAL, são congruentes. Logo $PD = AC = b$ e $A\hat{P}D = B\hat{A}C = 100^{\circ}$.
- De $PD = b = PB$, o $\triangle PBD$ é isósceles. Nele $\hat{P} = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}$, então $P\hat{B}D = P\hat{D}B = 10^{\circ}$.
- Finalmente, de $A\hat{B}P = 60^{\circ}$, $D\hat{B}P = 10^{\circ}$ e $C\hat{B}A = 40^{\circ}$, concluímos que $x = C\hat{B}D = 10^{\circ}$.