Estas duas expressões valem o mesmo:

$$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$

Trocar $k$ por $j$ não mudou nada. A letra está ali só para marcar por onde a conta passa; terminada a soma, ela desaparece. Letras assim se chamam mudas, ou ligadas. Elas são o contrário das incógnitas: uma incógnita guarda um valor que importa; uma letra muda não guarda valor nenhum depois que a operação acaba.

Livres e ligadas

Agora compare:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Aqui há duas letras de natureza diferente. O $k$ é ligado pela soma: só existe entre o $\Sigma$ e o fim da expressão, e poderia ser trocado por qualquer outra letra. O $n$ é livre: o resultado depende dele. Trocar $n$ por $m$ dá outra afirmação, sobre outro número.

O mesmo acontece na integral:

$$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$

O $t$ é ligado pela integral, e o $dt$ marca o seu alcance, como um parêntese de fechamento. O $x$ é livre: a área depende de até onde se integra. E nos quantificadores da lógica:

$$\forall x\,(x+0=x)$$

o $x$ é ligado pelo $\forall$, e a frase inteira não depende de valor nenhum: é verdadeira e pronto.

Operador Letra ligada Alcance
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ o termo que vem depois
$\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ entre o $\int$ e o $dt$
$\forall x,\ \exists x$ $x$ a fórmula que vem depois
$\lim\limits_{h\to0}$ $h$ a expressão sob o limite
$\{x\mid x>2\}$ $x$ dentro das chaves
$x\mapsto x^2$ $x$ a regra da função

O erro de capturar a letra

Como a letra muda pode ser trocada, há uma tentação perigosa: usar a mesma letra para duas coisas. A fórmula

$$\int_0^x x\,dx$$

é uma armadilha. O $x$ do limite superior é livre; o $x$ de dentro da integral é ligado. A expressão parece dizer “integre $x$ de $0$ até $x$”, mas não está claro qual $x$ é qual. A forma correta separa as letras: $\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$. Na lógica e na programação, esse erro tem nome, captura de variável, e os compiladores das linguagens de programação fazem trocas automáticas de nome para evitá-lo.

Exercício: livre ou ligada?

Em $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(k+a)$, quais letras são livres? O $k$ é ligado pela soma. O $m$ e o $a$ são livres. De fato, o resultado só depende deles: $\sum_{k=1}^{m}(k+a)=\frac{m(m+1)}2+ma$. Trocar $k$ por $j$ não muda o valor; trocar $a$ por $b$ muda.

Exercício: conserte a integral

Um aluno escreveu $\displaystyle F(x)=\int_0^x 3x^2\,dx$. Reescreva com letras separadas e calcule. A forma correta é $F(x)=\int_0^x3t^2\,dt=x^3$. Com a escrita do aluno, alguém poderia tratar o $3x^2$ como constante, porque o $x$ “de fora” é fixo, e obter $3x^2\cdot x=3x^3$, que está errado.

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