Euler's Eyes
2026-10-11
Retângulo, losango e quadrado
As diagonais contam muito sobre um quadrilátero. No retângulo, elas são iguais; no losango, perpendiculares; no quadrado, as duas coisas.
Quem descobriu
O documento mais famoso sobre a diagonal do quadrado é a tábua babilônica YBC 7289, de cerca de 1800–1600 a.C., hoje na Universidade Yale. Ela mostra um quadrado com as diagonais e um valor de $\sqrt{2}$ com erro menor que um milionésimo. As propriedades das diagonais do retângulo e do losango seguem dos teoremas sobre paralelogramos dos Elementos de Euclides.
A história
O número escrito na tábua, em base 60, é 1;24,51,10, isto é, $1 + \tfrac{24}{60} + \tfrac{51}{60^2} + \tfrac{10}{60^3} \approx 1{,}414213$. Ninguém sabe ao certo como os escribas o calcularam; uma hipótese é que usavam um método de aproximações sucessivas que hoje leva o nome de Heron.
Os gregos descobriram depois que a diagonal e o lado do quadrado não têm medida comum — a primeira prova conhecida de que $\sqrt{2}$ não é uma fração. Essa descoberta, atribuída aos pitagóricos, mudou a maneira de pensar sobre números e comprimentos.
No dia a dia
- Conferir o esquadro. Pedreiros e marceneiros medem as duas diagonais de uma forma, de uma porta ou de um quadro: se forem iguais, o paralelogramo é um retângulo.
- Alambrados e grades. As telas de arame formam losangos; as diagonais perpendiculares permitem que a tela estique sem rasgar.
- Pipas. As varetas cruzadas de uma pipa são diagonais perpendiculares.
- Papel A4. A razão entre os lados é $\sqrt{2}$, a mesma da diagonal do quadrado: dobrada ao meio, a folha mantém a forma.
Fontes: YBC 7289 e a raiz de 2 (MacTutor) · Elementos, proposição I.34.
Teoria e construções
Além das propriedades do paralelogramo, cada um tem a sua propriedade característica.
TeoremaRetângulo: diagonais congruentes
a) Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
b) Recíproca: todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
TeoremaLosango: diagonais perpendiculares
a) Todo losango tem diagonais perpendiculares.
b) Recíproca: todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
Ver as demonstrações
Retângulo. Num retângulo (paralelogramo), $BC = AD$; com $\hat{A} \equiv \hat{B}$ e $\overline{AB}$ comum, por LAL, $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$ e $AC = BD$. Na recíproca, LLL dá $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$, logo $\hat{A} \equiv \hat{B}$; mas $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são colaterais (suplementares), então ambos são retos — e os opostos também.
Losango. Num losango (paralelogramo), as diagonais se cortam ao meio em $M$. Por LLL, os quatro triângulos $AMB$, $AMD$, $CMB$, $CMD$ são congruentes, e os ângulos em $M$ são congruentes e suplementares: retos. Na recíproca, LAL dá os quatro triângulos congruentes, e $AB = AD = BC = CD$.
Quadrado. Todo quadrado é retângulo e também losango. Assim, além das propriedades do paralelogramo, tem diagonais congruentes e perpendiculares:
$$ABCD \text{ é quadrado} \iff ABCD \text{ é paralelogramo},\ AC = BD,\ AC \perp BD.$$ResumoReconhecendo pelas diagonais
Se um quadrilátero convexo tem diagonais que:
| se cortam ao meio | congruentes | perpendiculares | então é |
|---|---|---|---|
| sim | — | — | paralelogramo |
| sim | sim | — | retângulo |
| sim | — | sim | losango |
| sim | sim | sim | quadrado |
