Os gregos deixaram três problemas de construção que ninguém conseguiu resolver com régua e compasso, as ferramentas dos Elementos de Euclides:

  1. Duplicar o cubo: construir a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado.
  2. Trissectar o ângulo: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais.
  3. Quadrar o círculo: construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado.

Conta a lenda que, durante uma peste, o oráculo de Delos mandou os atenienses dobrarem o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo. Eles dobraram a aresta, o volume ficou oito vezes maior, e a peste continuou. Por dois mil anos, os matemáticos tentaram. A resposta só veio no século XIX, com as ideias de Gauss e de Galois: é impossível.

O que a régua e o compasso fazem

Comece com um segmento de comprimento 1. Com régua e compasso dá para somar, subtrair, multiplicar e dividir comprimentos, usando triângulos semelhantes. E dá para tirar raízes quadradas, com a média geométrica num semicírculo. Mas é só isso.

O motivo está na geometria analítica. Cada novo ponto de uma construção é o cruzamento de duas retas, de uma reta com um círculo ou de dois círculos. Retas têm equações de grau 1, e círculos, de grau 2. Resolver esses cruzamentos nunca exige mais que uma equação do segundo grau. Então cada passo da construção acrescenta, no máximo, uma raiz quadrada:

Um comprimento construtível com régua e compasso se escreve a partir de 1 com as quatro operações e raízes quadradas. Em particular, se ele é raiz de uma equação sem fatores racionais, o grau dessa equação é uma potência de 2.

O cubo de Delos

Duplicar um cubo de aresta 1 é construir a aresta $x$ de um cubo de volume 2:

$$x^3=2,\qquad x=\sqrt[3]2\approx1{,}2599.$$

A equação $x^3-2=0$ não tem raiz racional nem se fatora em polinômios racionais menores. O seu grau é 3, que não é potência de 2. Logo, $\sqrt[3]2$ não pode ser construído. O altar de Delos não pode ser dobrado com régua e compasso.

O ângulo de 60°

Alguns ângulos se trissectam facilmente: um ângulo reto se divide em três ângulos de $30°$, que se constroem com um triângulo equilátero. Mas o problema pede um método para qualquer ângulo, e basta um contraexemplo. Tome $60°$. Trissectá-lo é construir $20°$, ou seja, o comprimento $x=\cos20°$. Pela fórmula do cosseno do arco triplo,

$$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,$$

e com $\theta=20°$ e $\cos60°=\frac12$:

$$4x^3-3x=\frac12\qquad\Longrightarrow\qquad8x^3-6x-1=0.$$

As únicas raízes racionais possíveis seriam $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$, e nenhuma serve. Então a equação não se fatora, e o seu grau é 3. O ângulo de $60°$ não pode ser trissectado com régua e compasso.

Wantzel e Galois

As duas provas foram publicadas em 1837 por Pierre Wantzel, um francês de 23 anos, aluno da Escola Politécnica, no jornal de Liouville. Wantzel usou ideias de Gauss e de Lagrange; as obras de Galois só seriam publicadas nove anos depois. Hoje, o argumento se explica com a teoria de Galois: o grau de uma equação mede o tamanho do mundo de números que as suas raízes criam, e a régua e o compasso só conseguem subir de dois em dois.

O terceiro problema é ainda mais difícil. Quadrar um círculo de raio 1 é construir $\sqrt\pi$. Em 1882, o alemão Ferdinand von Lindemann provou que $\pi$ não é raiz de nenhuma equação com coeficientes racionais: é um número transcendente. Com isso, o círculo também não pode ser quadrado.

Exercício: o heptágono regular pode ser construído com régua e compasso?

Não. O número $x=\cos\frac{2\pi}7\approx0{,}6235$ é raiz de $8x^3+4x^2-4x-1=0$. As raízes racionais possíveis seriam $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$, e nenhuma funciona: por exemplo, em $x=\frac12$ o polinômio vale $1+1-2-1=-1$. Então a equação não se fatora, tem grau 3, e $\cos\frac{2\pi}7$ não é construtível.

Exercício: por que um ângulo de 90° pode ser trissectado, se a equação do arco triplo também é de grau 3?

Com $\cos90°=0$, a equação fica $4x^3-3x=0$, que se fatora: $x(4x^2-3)=0$. A raiz que interessa, $x=\cos30°=\frac{\sqrt3}2$, vem de uma equação de grau 2, e raízes quadradas se constroem. O problema só é impossível quando a equação de grau 3 não se fatora, como no caso de $60°$.

Fontes: Pierre Wantzel, “Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas”, Journal de mathématiques pures et appliquées 2 (1837) · Ian Stewart, Galois Theory (CRC Press, 4ª ed., 2015) · Felix Klein, Famous Problems of Elementary Geometry (1897).

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