A Geometria começa mostrando que as operações da aritmética podem ser feitas com segmentos. A mais bonita é a raiz quadrada. Para achar $\sqrt{a}$:

  1. Desenhe numa reta um segmento $AB$ de comprimento 1 e, em seguida, um segmento $BC$ de comprimento $a$.
  2. Trace uma semicircunferência com diâmetro $AC$.
  3. Levante por $B$ uma perpendicular até encontrar a semicircunferência no ponto $D$.

Então $BD = \sqrt{a}$.

Mude o valor de a: a altura BD é sempre √a. Para a = 4, 9 ou 2,25 a raiz é exata.

Por quê? Todo triângulo inscrito numa semicircunferência, com um lado no diâmetro, é retângulo. Então $ADC$ é retângulo em $D$, e $DB$ é a altura relativa à hipotenusa. Os triângulos $ABD$ e $DBC$ são semelhantes, o que dá

$$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{BD} \;\Longrightarrow\; BD^2 = AB \cdot BC = 1 \cdot a \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{a}.$$

No desenho, $a = 4$: a altura $BD$ mede exatamente 2 unidades.

*A Geometria*, livro I: Descartes resolve uma equação do 2º grau com um círculo e retas (o triângulo NLM e o ponto O).
A Geometria, livro I: Descartes resolve uma equação do 2º grau com um círculo e retas (o triângulo NLM e o ponto O).René Descartes, 1637 · domínio público

Foi também em A Geometria que Descartes fixou convenções que usamos até hoje: as últimas letras do alfabeto ($x$, $y$, $z$) para as incógnitas, as primeiras ($a$, $b$, $c$) para os valores conhecidos, e os expoentes escritos no alto, como em $x^3$.

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