O conceito de relações é o ponto de partida para o conceito de funções em números reais. Além dela, conceitos de par ordenado, produto cartesiano e o próprio plano cartesiano. Um dos principais matemáticos que contribuíram para este conceito foi Julius Wilhelm Richar Dedekind.

Obra de Euclides.

Homenagem a Dedekind

Nosso homenageiado de hoje é Julius Wilhelm Richar Dedekind. Ele foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de Braunschweig, Alemanha.

Obra de Euclides.

Aos 19 anos entrou no doutorado, em Gõttingen, aos 22 concluiu. Aluno de Dirichlet, lecionou para o ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida. Ele era muito preocupado com a natureza das funções e dos números. Desta forma, esteve concentrado no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo.

Par Ordenado

Definição: Par ordenado é são dois números formados pela dupla $(x,y)$ com coordenadas $x$ e $y$ respectivamente.

James Clerk Maxwell.

Do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:

  • $\\{1,2\\} = \\{2, 1\\},$
  • $\\{3, -1\\} = \\{-1, 3\\}$
  • $\\{a, b\\} = \\{b, a\\}.$

Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos.

Por exemplo, no sistema de equações:

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{cases} $$

Neste caso, $x = 2$ e $y = 1$ é solução deste sistema de equações. Porém, para $x = 1$ e $y = 2$ não é solução.

Em conjuntos a solução seria:

  • $\\{2, l\\}$ seria solução e
  • $\\{1, 2\\}$ não seria solução.

Há uma contradição, pois sendo $\\{2, 1\\} = \\{1, 2\\}$, o mesmo conjunto é e não é solução.

Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado $(2, 1)$ onde fica subentendido que:

  • Primeiro elemento $2$ é referente a incógnita $x$ e o
  • Segundo elemento $1$ é referente a incógnita $y$

Segundo o conceito de par ordenado temos que:

$$(a,b)=(c,d) \quad \text{se, e somente se}\quad a=c \quad \text{ e } \quad b=d$$

Coordenadas do Plano Cartesiano

Definição: Abscissa é a reta numérica horizontal, que chamamos de coordenada do eixo $x$.

James Clerk Maxwell.

Definição: Ordenada é a reta numérica vertical, que chamamos de coordenada do eixo $y$.

James Clerk Maxwell.

Quadrantes

Após definição de pares ordenados, o próximo passo é classificarmos estes pares. No sentido anti-horário podemos classificar estes pares que chamamos de quadrantes. Desta forma, temos os quadrantes:

Obra de Euclides.
  1. Primeiro quadrante: pares ordenados $(x,y)$ ambos positivos
  2. Segundo quadrante: pares ordenados $(-x,y)$ abscissa negativa > e ordenada positiva
  3. Terceiro quadrante: pares ordenados $(-x,-y)$ ambos negativos
  4. Quarto quadrante: pares ordenados $(x,-y)$ abscissa positiva e ordenada negativa
James Clerk Maxwell.

Produto Cartesiano

Com objetivo de exploramos o conceito de produto cartesiano, consideremos os conjuntos

  • $A = \\{2, 3, 4\\}$
  • $B = \\{2, 3, 4, 5, 6\\}$

O produto cartesiano de $A$ por $B$ é o conjunto

$$A \times B = \\{(x, y); x\in A \text{ e } y \in B \\}$$
  • $A\times B$: produto cartesiano de $A$ por $B$
  • $(x,y)$: par ordenado com coordenadas:
    • $x$ coordenada chamada abscissa
    • $y$ coordenada chamada ordenada
  • tal que:
    • $x \in A$: $x$ pertence a $A$
    • $y \in B$: $y$ pertence a $B$

A seguir, vamos mostrar com o diagrama de flechas.

Obra de Euclides.

formado por $3 ~·~ 5 = 15$ elementos representados pela figura. O conjunto de pares ordenados $(x, y)$ de $A \times B$ tais que $x | y$, em que $x$ é divisor de $y$.

Relação Binária

O plano cartesiano da seção anterior, em que são dados pelos divisores $x | y$. Desta forma, a relação entre os elementos de $A$ e de $B$ é dada por:

$$ \begin{aligned} \mathcal{R} &= \{(x,y)\in A \times B; ~~ x|y\}\\ &= \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)\} \end{aligned} $$

O conjunto $\mathcal{R}$ está contido em $A \times B$ e é formado por pares $(x, y)$ em que o elemento $x$ de $A$ é “associado” ao elemento $y$ de $B$ mediante um certo critério de “relacionamento” ou “correspondência”.

Para a representação da relação binária ser visual, vamos usar o diagrama de flechas.

Obra de Euclides.

Definição (Relação Binária): Sejam os conjuntos $A$ e $B$, a relação binária de $A$ em $B$ é todos subconjunto $\mathcal{R}$ de $A \times B$

$\mathcal{R}$ é relação binária em de $A$ em $B$ $\iff \mathcal{R} \subseteq A\times B$

Observação: Note que, a relação binária dos divisores $x|y$ é um subconjunto do produto cartesiano $A\times B$.

No caso em que o par $(x,y)$ pertence a relação $\mathcal{R}$, escrevemos $x \mathcal{R} y$.

$$(x,y) \in \mathcal{R} \quad \iff \quad x \mathcal{R} y$$

Estes são os conceitos de relações. Aguardem os próximos posts.