Quais dados determinam um triângulo?

Resolver um triângulo é obter seus lados e ângulos a partir de dados suficientes. Use sempre a convenção: $a,b,c$ opostos a $A,B,C$. Um triângulo não degenerado tem lados positivos e ângulos entre 0 e $\pi$.

Um lado e dois ângulos

Conhecendo $a,B,C$, calcule $A=\pi-B-C$. É necessário $B+C<\pi$. A lei dos senos fornece:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$

Os dados determinam um triângulo, a menos de posição e reflexão.

Dois lados e o ângulo entre eles

Conhecendo $b,c,A$, com $0 $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}.$$

Depois encontre, por exemplo, $B$ pela lei dos cossenos e faça $C=\pi-A-B$. Usar arco cosseno para um ângulo evita a escolha entre dois ângulos de mesmo seno.

Três lados

Primeiro confira $a $$A=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$

com fórmulas análogas para B e C. Por exemplo, lados 3, 4 e 5 determinam um ângulo reto oposto ao lado 5.

Dois lados e um ângulo não compreendido

Conhecendo $a,b,A$, a lei dos senos exige:

$$\sin B=q,\qquad q=\frac{b\sin A}{a}.$$

Se $q>1$, não há solução. Se $q=1$, o único candidato é $B=\pi/2$. Se $0 $$B_1=\arcsin q,\qquad B_2=\pi-B_1.$$

Cada candidato só é aceito se $A+B_i<\pi$. Para cada um aceito, $C_i=\pi-A-B_i$ e $c_i=a\sin C_i/\sin A$. O filtro do terceiro ângulo positivo é indispensável.

Classificação geométrica completa

Para $0

Dados Número de triângulos
$a 0
$a=h$ 1, com $B=\pi/2$
$h 2
$a\ge b$ 1

Se $\pi/2\le A<\pi$, há uma solução quando $a>b$ e nenhuma quando $a\le b$. O lado oposto a um ângulo reto ou obtuso precisa ser o maior dos dois lados dados.

Um caso com duas respostas

Para $A=30°$, $a=5$ e $b=8$, temos $h=4<5<8$. A equação fornece $\sin B=4/5$. Os candidatos são aproximadamente $53{,}13°$ e $126{,}87°$; ambos somam com $A$ menos de $180°$.

Os terceiros ângulos são aproximadamente $96{,}87°$ e $23{,}13°$. Existem dois triângulos distintos que satisfazem os dados. Uma calculadora retornando só o arco seno principal não resolve, sozinha, toda a discussão.

No dia a dia

  • Largura de um rio. Uma base numa margem e dois ângulos bastam para achar a distância até a outra margem.
  • Aviação. A velocidade em relação ao solo e o desvio de rota de um avião com vento lateral saem da resolução de um triângulo.
  • Mais de uma resposta. O caso ambíguo aparece em perícias e em navegação: com dois lados e um ângulo não compreendido, pode haver duas posições possíveis, e é preciso outra medida para decidir.
Um lado e dois ângulos bastam: a largura de um rio sem atravessá-lo.

Exercícios com resolução

1. Se $A=30°$, $a=4$ e $b=10$, existe triângulo?

Conferir resolução 1

Não. Seria necessário $\sin B=10\cdot(1/2)/4=5/4>1$.

2. Se $A=120°$, $a=10$ e $b=6$, quantos triângulos existem?

Conferir resolução 2

Um, pois A é obtuso e $a>b$. Pelo cálculo, $q=3\sqrt3/10$; apenas $B_1=\arcsin q$ deixa $C>0$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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