Os geômetras gregos sabiam calcular o volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. A esfera resistia. No tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes resolveu o problema e encontrou relações de uma simplicidade surpreendente.

Os teoremas

Chame de círculo máximo o círculo que passa pelo centro da esfera, como o equador. Arquimedes demonstrou que:

  1. a superfície da esfera é quatro vezes a área do círculo máximo: $S = 4\pi r^2$;
  2. o volume da esfera é quatro vezes o de um cone cuja base é o círculo máximo e cuja altura é o raio: $V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$.

E daí tirou a consequência que mais o encantava. Considere o cilindro que envolve a esfera exatamente, com raio $r$ e altura $2r$. O seu volume é $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, e a superfície total, contando as duas tampas, é $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$. Então

$$\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{esfera}}}{S_{\text{cilindro}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$

Tanto o volume quanto a superfície da esfera são dois terços dos do cilindro.

Páginas de um manuscrito latino de Sobre a esfera e o cilindro, do século XIII, a época em que as obras de Arquimedes foram traduzidas do grego para o latim.
Páginas de um manuscrito latino de Sobre a esfera e o cilindro, do século XIII, a época em que as obras de Arquimedes foram traduzidas do grego para o latim.Manuscrito latino, c. 1270 · Wikimedia Commons · domínio público

A superfície como um rótulo de lata

Há uma forma de ver o resultado da superfície que o próprio Arquimedes conhecia. Corte a esfera e o cilindro por dois planos horizontais muito próximos. A faixa de esfera entre eles tem a mesma área que a faixa de cilindro: onde a esfera é mais estreita, a faixa é mais inclinada e, por isso, mais larga, e os dois efeitos se compensam exatamente. Somando todas as faixas, a superfície da esfera é igual à superfície lateral do cilindro, $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$.

Esse fato tem uma consequência prática: a projeção que leva cada ponto da esfera horizontalmente até o cilindro conserva as áreas. É a base da projeção cilíndrica equivalente de Lambert, usada em mapas que respeitam o tamanho dos países.

Cícero descobre o túmulo de Arquimedes, numa pintura de Pierre-Henri de Valenciennes, de 1787.
Cícero descobre o túmulo de Arquimedes, numa pintura de Pierre-Henri de Valenciennes, de 1787.Pierre-Henri de Valenciennes · Wikimedia Commons · domínio público
Exercício: a bola na caixa cilíndrica

Uma bola de raio 3 cm está dentro de uma lata cilíndrica que a envolve exatamente. Qual é o volume de ar na lata?

Cilindro: $\pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi$ cm³. Esfera: $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ cm³, que são $\frac{2}{3}$ de $54\pi$. O ar ocupa $54\pi - 36\pi = 18\pi \approx 56{,}5$ cm³: exatamente um terço da lata.

Exercício: a área da Terra

Considerando a Terra uma esfera de raio 6371 km, calcule a área da superfície. Que fração dela fica entre o equador e o paralelo de 30° norte?

$S = 4\pi \cdot 6371^2 \approx 5{,}10 \times 10^8$ km². Pelo argumento do rótulo, a área de uma faixa da esfera depende só da sua altura: é $2\pi r h$. O paralelo de 30° está à altura $h = r \sin 30° = \frac{r}{2}$ acima do equador. A faixa tem área $2\pi r \cdot \frac{r}{2} = \pi r^2$, ou seja, $\frac{1}{4}$ da superfície total. Um quarto da Terra fica entre o equador e o paralelo de 30° norte.

Fontes: Arquimedes, Sobre a esfera e o cilindro, livro I, proposições 33–34 e corolário · Plutarco, Vida de Marcelo, 17 · Cícero, Discussões tusculanas, V, 64–66 · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897).

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