Euler provou que os primos nunca acabam (veja o capítulo dele). Mas quantos são? Aos 15 anos, Gauss passava o tempo livre contando primos em tabelas, de mil em mil. Percebeu que, perto de um número $x$, mais ou menos 1 em cada $\ln x$ números é primo. Daí a estimativa: a quantidade de primos até $x$, que chamamos de $\pi(x)$, é parecida com

$$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$
$x$ Primos até $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$
100 25 21,7 29,1
1 000 168 144,8 176,6
10 000 1 229 1 085,7 1 245,1
100 000 9 592 8 685,9 9 628,8
1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1
O computador conta os primos de verdade (em azul) e compara com as estimativas de Gauss. Quanto maior x, menor o erro em porcentagem.

Gauss nunca provou essa estimativa. Ela só foi demonstrada em 1896, por Jacques Hadamard e Charles de la Vallée Poussin, e hoje se chama teorema dos números primos.

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