A principal obra de geometria, o livro Elementos de Euclides, têm diversos resultados para retas e circunferências. Neste post, vamos mostrar diversos resultados para este assunto.

Definições Básicas

A seguir definimos alguns termos fundamentais para trabalharmos com circunferências.

Centro

Definição (Centro): é um ponto que está a mesma distância de qualquer ponto da circunferência.

Raio

Definição (Raio): é qualquer segmento de reta que parte do centro até a circunferência.

Corda

Definição (Corda): é qualquer segmento de reta que possui duas extremidades em uma circunferência.

Diâmetro

Definição (Diâmetro): é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Vale lembrar que é a maior corda da circunferência. Esta corda é igual a duas vezes o raio.

$$D = 2R$$

Reta tangente

Ao trabalharmos com retas e circunferências, necessitamos de algumas propriedades. A primeira delas é a reta tangente.

Definição (Reta Tangente): em um plano, dizemos reta tangente a uma circunferência, aquela que é interceptada em um único ponto. O ponto de interseção é o ponto de tangência (T).

Lema 1:

Uma reta é tangente a uma circunferência em um ponto se, e somente se é perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.

Reta secante

A segunda delas é a reta secante.

Definição (Reta Secante): em um plano, dizemos reta secante a uma circunferência, aquela que é interceptada em mais de um ponto.

Lema 2:

Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente a interseta em dois pontos.

Problemas propostos

  1. Prove que, dado um ângulo, as circunferências com centro na sua bissetriz (exceto o vértice do ângulo) e raio igual à distância desse centro a um dos lados do ângulo é tangente aos dois lados (do ângulo). Ainda, toda circunferência tangente aos dois lados do ângulo tem centro em sua bissetriz e a circunferência está no interior do ângulo, com exceção dos dois pontos de contato
  1. Prove que, dadas duas circunferências concêntricas, se uma corda da maior é tangente à menor, o ponto de contato é o ponto médio da corda.

Posições para duas circunferências

Dadas duas circunferências em um plano, existem algumas propriedades para as posições referentes a elas. Neste caso temos 3 situações:

  • as circunferências se interceptam;
  • as circunferências se interceptam em um único ponto;
  • as circunferências se interceptam em dois pontos.

Circunferências Tangentes

Definição (Circunferências Tangentes): em um plano, dizemos duas circunferências tangentes, quando se interceptam em um único ponto.

Tangentes Externamente Tangentes Internamente

Tangentes Externamente

Lema 3: Dadas duas circunferências em um plano, se:

  • a distância entre seus centros é maior do que a soma dos raios;
  • então elas não se interseptam;
  • cada uma está no exterior da outra.

Neste caso, temos a distância entre os centros $(C_1, C_2)$ é maior que a soma dos raios $(R_1,R_2)$.

$$d(C_1, C_2) > R_1 + R_2$$

Lema 4: Dadas duas circunferências em um plano, se

  • a distância entre seus centros é igual à soma dos raios;
  • então elas são tangentes externamente.

Neste caso, temos a distância entre os centros $(C_1, C_2)$ é igual a soma dos raios $(R_1,R_2)$.

$$d(C_1, C_2) = R_1 + R_2$$

Tangentes Internamente

Lema 5: Dadas duas circunferências em um plano com raios diferentes:

  • se a distância entre seus centros é igual à diferença positiva entre os raios;
  • então elas são tangentes internamente.

Lema 6: Dadas duas circunferências em um plano com raios diferentes,

  • se a distância entre seus centros é menor do que a diferença positiva entre os raios,
  • então a circunferência de raio menor está no interior da outra.

Secantes

Lema 7: Dadas duas circunferências em um plano, se:

  • a distância entre seus centros é menor do que a soma dos raios;
  • maior do que sua diferença em valor absoluto;
  • então elas se intersetam em exatamente dois pontos

Até o presente momento é só. Aguardem os próximos posts.