Fórmula, tabela e gráfico: tratamento e conversão

Quando Descartes publicou A Geometria em 1637, ele não inventou nem as curvas nem as equações. As duas coisas já existiam havia séculos. O que ele inventou foi uma ponte entre elas: um jeito de transformar cada curva numa equação e cada equação numa curva, medindo distâncias a partir de uma reta de referência (os dois eixos perpendiculares que hoje chamamos de cartesianos só se firmaram depois dele). O plano cartesiano é, antes de tudo, uma máquina de traduzir de uma escrita para outra.

Essa tradução é tão familiar que esquecemos como ela é difícil. O francês Raymond Duval passou a vida estudando por que tantos alunos que calculam bem travam diante de um gráfico, e chegou a uma ideia que hoje é central na educação matemática.

Registros de representação

Duval chama de registro de representação um sistema de sinais com as suas próprias regras: a língua portuguesa, a escrita algébrica, as tabelas, os gráficos cartesianos, as figuras geométricas. Um mesmo objeto, como a função que dobra e soma um, aparece em todos eles:

• em palavras: “a cada entrada, a saída é o dobro mais um”;
• em fórmula: $f(x)=2x+1$;
• em tabela: os pares $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,5)$;
• em gráfico: uma reta que corta o eixo vertical em $1$ e sobe $2$ para cada $1$ que anda.

Mexa na figura abaixo e acompanhe o mesmo ponto nos três registros:

Nenhum registro é uma cópia dos outros. A fórmula é a melhor para calcular $f(100)$. A tabela mostra casos concretos, mas só alguns. O gráfico mostra de relance que a função cresce, e quanto. As palavras dizem do que se está falando. Cada um ilumina uma parte do objeto e deixa outra no escuro.

Tratar e converter

A distinção mais útil de Duval separa duas atividades que parecem iguais e não são.

Um tratamento é uma transformação dentro de um registro. Resolver uma equação é um tratamento algébrico:

Simplificar uma fração, fatorar um polinômio e somar colunas de uma tabela também são tratamentos. Eles seguem as regras do próprio registro, e a escola treina muito bem esse tipo de tarefa.

Uma conversão é uma passagem de um registro para outro: da fórmula para o gráfico, da frase para a equação, da tabela para a fórmula. Para desenhar o gráfico de $f(x)=2x+1$, é preciso saber que o $1$ vira o ponto onde a reta corta o eixo vertical e que o $2$ vira a inclinação. Nenhuma regra algébrica ensina isso; é preciso saber como os dois registros se correspondem.

A tabela acima dá três pontos. Por que podemos ligá-los com uma reta? Não por causa dos pontos: três pontos alinhados também cabem numa infinidade de curvas sinuosas. Podemos ligá-los porque a fórmula diz que a função é afim. A conversão de tabela para gráfico depende de uma informação que só a fórmula tinha.

Conversões que enganam

Duval notou que algumas conversões são fáceis e outras muito difíceis, e que a dificuldade depende de as duas escritas andarem na mesma ordem ou não. Compare duas frases:

• “O conjunto dos pontos cuja ordenada é igual à abscissa.” Vira $y=x$, palavra por palavra, na mesma ordem. Conversão fácil.
• “O conjunto dos pontos cuja ordenada é maior que a abscissa.” Vira $y>x$, e o gráfico é o semiplano acima da reta $y=x$. Muitos alunos desenham a região de baixo, ou só a reta.

Na segunda frase, a palavra “maior” tem que virar uma região e um lado, coisa que a palavra não diz. Duval chama de não congruentes as conversões em que as unidades de uma escrita não correspondem uma a uma às da outra. São elas que separam quem decorou procedimentos de quem entende o objeto.

Uma atividade nos três registros

Considere a afirmação: “o quadrado de um número real é igual a quatro.”

1. Em fórmula: $x^2=4$.
2. Por tratamento: $x^2=4\iff x=2$ ou $x=-2$.
3. Em gráfico: as soluções são as abscissas dos pontos em que a parábola $y=x^2$ cruza a reta horizontal $y=4$, ou seja, $(-2,4)$ e $(2,4)$.

O gráfico mostra de relance algo que a fórmula esconde: uma reta horizontal acima do vértice da parábola sempre a corta em dois pontos simétricos. Daí se vê, sem conta nenhuma, que $x^2=c$ tem duas soluções quando $c>0$, uma quando $c=0$ e nenhuma real quando $c<0$.

Para aprofundar, veja o artigo de Duval A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics (2006).

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