Euler's Eyes
2026-10-11
A Pascalina: uma soma feita por engrenagens
Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal:
$$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”:
- dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros;
- soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos;
- livras: $3+2+1=6$.
Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.
Rodas que contam
A ideia da Pascalina é simples. Cada casa do número tem uma roda com os algarismos de $0$ a $9$. Para somar $7$, encaixa-se um estilete no furo do $7$ e gira-se a roda até um batente. O número aparece numa janelinha.
O difícil é o “vai um”. Quando a roda das unidades passa de $9$ para $0$, a das dezenas tem de avançar uma posição sozinha. E às vezes isso se propaga:
$$999+1=1000.$$Aqui um único giro na roda das unidades precisa mover as quatro rodas ao mesmo tempo. Se a força vier toda do dedo de quem gira, as engrenagens emperram.
O saltador
A solução de Pascal foi uma peça chamada saltador: uma pequena alavanca com peso, entre uma roda e a seguinte. Enquanto a roda gira de $0$ a $9$, dois pinos vão levantando o saltador aos poucos. Na passagem do $9$ para o $0$, ele é solto, cai pelo próprio peso e empurra a roda seguinte uma casa para a frente.
A força do “vai um” vem da gravidade, guardada aos poucos durante a contagem. Por isso o transporte pode correr por muitas rodas seguidas sem travar. Na soma $278+145$:
- unidades: $8+5=13$, a roda mostra $3$ e o saltador empurra a dezena;
- dezenas: $7+4+1=12$, a roda mostra $2$ e o saltador empurra a centena;
- centenas: $2+1+1=4$.
Subtrair com uma máquina que só soma
O saltador tinha um preço: as rodas só podiam girar num sentido. Como subtrair, então? Pascal usou o complemento de nove. Em cada janela havia dois números: o algarismo e o que falta para $9$. Para três casas, o complemento de $x$ é $999-x$.
Para calcular $423-145$:
- o complemento de $423$ é $999-423=576$;
- a máquina soma normalmente: $576+145=721$;
- o complemento de $721$ é $999-721=278$.
E de fato $423-145=278$. O motivo é que $999-\big((999-a)+b\big)=a-b$. Só com somas, a máquina subtrai.
Antes e depois
A Pascalina não foi a primeira máquina de calcular: em 1623, o alemão Wilhelm Schickard tinha projetado um “relógio de calcular”, mas ele se perdeu numa guerra e ninguém o conheceu na época. A de Pascal foi a primeira a ser fabricada, vendida e copiada. Trinta anos depois, Leibniz viu uma em Paris e decidiu ir além: queria uma máquina que também multiplicasse.
Exercício: some 596 e 407, acompanhando os “vai um”
Unidades: $6+7=13$, escreve $3$ e vai um. Dezenas: $9+0+1=10$, escreve $0$ e vai um. Centenas: $5+4+1=10$, escreve $0$ e vai um para o milhar. O resultado é $1003$: três saltadores caíram em cascata.
Exercício: calcule 500 − 137 pelo método da Pascalina
O complemento de $500$ é $499$. Somando, $499+137=636$. O complemento de $636$ é $363$. De fato, $500-137=363$.
Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · a Pascalina, Musée des Arts et Métiers.
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