Euler's Eyes
2026-10-11
Proposições primitivas
Se ponto, reta e plano não são definidos, alguém precisa dizer as regras do jogo. Essas regras são os postulados.
Quem descobriu
A ideia de começar uma teoria por afirmações aceitas sem prova é grega. Aristóteles (século IV a.C.) já discutia por que toda ciência demonstrativa precisa de princípios iniciais, e Euclides pôs isso em prática nos Elementos, abrindo a obra com cinco postulados — o primeiro diz que é possível traçar uma reta de um ponto a outro. Em 1899, David Hilbert completou a lista com cerca de vinte axiomas, incluindo regras que Euclides usava sem enunciar.
A história
O método de Euclides foi um sucesso por mais de vinte séculos: todo teorema dos Elementos é deduzido dos postulados ou de teoremas anteriores. Por isso a obra foi usada como livro-texto até o século XX e virou modelo para outras áreas — Newton organizou os Principia e Spinoza escreveu sua Ética “à maneira dos geômetras”.
No século XIX, matemáticos perceberam que algumas provas dos Elementos dependiam de fatos “vistos” no desenho, sem estar nos postulados. Hilbert reorganizou tudo em grupos — incidência, ordem, congruência, paralelas e continuidade — e os postulados deste capítulo (existência, determinação e inclusão) são versões dos seus axiomas de incidência.
No dia a dia
- Mesa de três pernas não balança. Três pontos não colineares determinam um plano: por isso tripés de câmera e banquinhos de ordenha ficam firmes em qualquer chão.
- Linha de pedreiro. Dois pregos e um barbante esticado bastam para marcar o alinhamento de um muro — dois pontos determinam uma reta.
- Regras de um jogo. Ninguém prova que o bispo anda na diagonal; é uma regra do xadrez. Os postulados funcionam do mesmo jeito: são as regras aceitas, e o resto é consequência.
Fontes: Euclides (MacTutor) · Elementos, postulado 1 · Hilbert (MacTutor).
Teoria e construções
As proposições geométricas (propriedades, afirmações) são aceitas mediante demonstrações. As proposições primitivas — chamadas postulados ou axiomas — são aceitas sem demonstração.
Começamos a Geometria Plana com alguns postulados que relacionam ponto, reta e plano.
PostuladoPostulado da existência
- Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
- Num plano há infinitos pontos.
A expressão “infinitos pontos” significa “tantos pontos quantos quisermos”.
Para indicar que um ponto está ou não está numa reta usamos os símbolos $\in$ (pertence) e $\notin$ (não pertence). Na figura abaixo, $A$, $B$ e $P$ estão em $r$; já $R$, $S$ e $M$ não estão:
$$A \in r,\quad B \in r,\quad P \in r \qquad\text{e}\qquad R \notin r,\quad S \notin r,\quad M \notin r.$$Posições de dois pontos e de ponto e reta
Dados dois pontos $A$ e $B$, só há duas possibilidades: ou são coincidentes ($A = B$: é um só ponto com dois nomes) ou são distintos ($A \neq B$).
Dados um ponto $P$ e uma reta $r$, também há duas possibilidades: ou $P$ está em $r$ ($P \in r$, a reta passa por $P$) ou $P$ não está em $r$ ($P \notin r$).
DefiniçãoPontos colineares
Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
Arraste o ponto $P$ na figura abaixo. Quando ele está na reta, $A$, $B$ e $P$ são colineares. Fora dela, os três pontos determinam um plano — assunto do próximo postulado.
PostuladoPostulado da determinação
a) Da reta. Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
$$A \neq B,\ A \in r,\ B \in r \ \Longrightarrow\ r = \overleftrightarrow{AB}$$b) Do plano. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Indicamos esse plano por $(A, B, C)$.
A expressão “duas retas coincidentes” equivale a “uma única reta”. Por isso o postulado também diz: se duas retas têm dois pontos distintos em comum, elas coincidem.
A figura a seguir é um laboratório desse postulado. Clique na grade para criar pontos e veja quantas retas distintas eles determinam. Com $n$ pontos, sem três colineares, cada par de pontos dá uma reta diferente: são $\dfrac{n(n-1)}{2}$ retas. Quando três ou mais pontos ficam alinhados, eles determinam uma só reta e o total diminui.
PostuladoPostulado da inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida nesse plano:
$$A \neq B,\ r = \overleftrightarrow{AB},\ A \in \alpha,\ B \in \alpha \ \Longrightarrow\ r \subset \alpha$$DefiniçãoPontos coplanares e figuras
- Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.
- Figura é qualquer conjunto de pontos.
- Figura plana é uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano.
A Geometria Plana estuda as figuras planas.