Euler's Eyes
2022-11-02
Produto Cartesiano de Conjuntos
Em teoria de conjuntos, um dos assuntos que podemos abordar é o Produto Cartesiano de dois Conjuntos. Nela falamos de par ordenado, axioma do par e o produto cartesiano.
Par ordenado
Antes de abordarmos o assunto produto cartesiano de dois conjuntos, temos a necessidade de falarmos sobre pares ordenados.
Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos arbitrários. Para $a \in A$ e $b \in B,$ e ao usarmos o axioma da especificação podemos construir o conjunto
$$\\{a, b\\} = \\{x;\quad x = a \text{ ou } x = b\\}.$$Para uma noção de par ordenado, é necessário em um conjunto com dois elementos dados, sabermos qual é o primeiro e qual é o segundo elemento.
Para isto, precisamos da certeza que este par é também um elemento. Isso é pelo seguinte axioma.
Axioma do par: Para dois conjuntos quaisquer existe um conjunto ao qual ambos pertencem.
Este axioma garante a existência do conjunto definido a seguir:
Definição (Par ordenado): o par ordenado de $a$ e $b,$ denotado por $(a, b)$, com primeira coordenada $a$ e segunda coordenada $b$ é o conjunto
$$(a, b) = \\{a, \\{a, b\\}\\}.$$
Produto Cartesiano de dois conjuntos
Definição (Produto cartesiano de dois conjuntos): Dados dois conjuntos $A$ e $B,$ o produto cartesiano de $A$ e $B,$ denotado por $A\times B$, é o conjunto
$$A \times B = \\{x;\quad x = (a, b) \text{ para algum } a \in A \text{ e algum } b \in B \\}.$$
Dadas estas definições, vejamos como esta nova operação entre conjuntos se comportam.
Resultado para produto cartesiano
Teorema Sejam $A, B$ e $C$ conjuntos quaisquer. Então temos:
- (a) $A \times \emptyset = \emptyset × A = \emptyset.$
- (b) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
- (c) $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C).$
- (d) $A \times (B − C) = (A \times B) − (A \times C).$
Demonstração:
- (a) Pela definição de produto cartesiano, temos
Como não existe $b \in \emptyset,$ temos que não existe par ordenado cuja segunda coordenada seja $b,$ assim $A \times \emptyset = \emptyset.$
A outra igualdade é análoga.
- (b) Note que aqui podemos assumir que os 3 conjuntos são diferentes do vazio, pois caso contrário a demonstração segue facilmente do item (a). Para $a \in A$ e $x \in (B \cap C),$ temos da definição de produto cartesiano que:
Da definição de intesecção temos:
$$(a \in A) \wedge (x \in B \wedge x \in C)$$Da propriedade de associatividade:
$$(a \in A) \wedge (x \in B) \wedge (x \in C),$$Da propriedade de cancelamento e comutatividade de $\wedge$:
$$(a ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (a ∈ A) ∧ (x ∈ C)$$Da propriedade de associatividade:
$$[(a \in A) \wedge (x \in B)] \wedge [(a \in A) \wedge (x \in C)]$$Da definição de prod. cartesiano:
$$[(a, x) \in A \times B] \wedge [(a, x) \in A \times C]$$Da definição de intersecção:
$$(a, x) \in (A × B) ∩ (A × C)$$o que mostra a igualdade do item (b).
As demonstrações das igualdades dos item (c) e (d), ficam como exercício. 😂😂😂
$\square$
Este é o resumo de Produto Cartesiano de Conjuntos. Aguardem os próximos posts.