Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades.

Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat:

Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito.

— Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

Primeiro problema: o seis e o duplo seis

Méré conhecia uma aposta vantajosa: jogar um dado 4 vezes e apostar que sai pelo menos um seis. Ele ganhava mais do que perdia.

Então pensou: com dois dados, o duplo seis é 6 vezes mais raro que um seis num dado só. Para compensar, basta jogar 6 vezes mais: $4\cdot6=24$ jogadas. A aposta “pelo menos um duplo seis em 24 jogadas de dois dados” deveria ser tão boa quanto a primeira.

Não era. Méré perdia dinheiro, e não entendia por quê.

A conta certa é pelo lado contrário. A chance de não sair seis num dado é $\frac56$. Em 4 jogadas independentes, a chance de nunca sair seis é $\left(\frac56\right)^4$. Então

Com dois dados há $36$ resultados, e só um é duplo seis. A chance de não sair duplo seis numa jogada é $\frac{35}{36}$:

A primeira aposta ganha 51,8% das vezes; a segunda, só 49,1%. A regra de proporção de Méré parecia lógica, mas as chances não se somam assim. Com 25 jogadas, a chance passa de metade: $1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0{,}506$.

Segundo problema: o jogo interrompido

Dois jogadores apostam 32 pistolas cada um, num total de 64. Ganha tudo quem vencer primeiro 3 rodadas. O jogo é interrompido quando A tem 2 vitórias e B tem 1. Como dividir as 64 pistolas de forma justa?

Fermat resolveu contando todas as sequências possíveis. Pascal fez diferente: olhou só para a próxima rodada.

• Se A vencer a próxima, chega a 3 e leva as 64.
• Se B vencer, fica 2 a 2, e aí os dois estão empatados: cada um merece 32.

A próxima rodada tem chance igual para os dois. Então A tem garantidas 32 pistolas, aconteça o que acontecer, e as outras 32 são incertas, metade de chance para cada um. Pascal concluiu que A deve receber

e B, as 16 restantes. São exatamente os números da carta dele.

De trás para a frente

A ideia funciona em qualquer placar: resolve-se o caso fácil e volta-se um passo de cada vez. Suponha agora que A tem 2 vitórias e B nenhuma. Se A vencer a próxima, leva 64; se perder, o placar vira 2 a 1, que já sabemos valer 48 para A. A média é

E se A tem 1 vitória e B nenhuma? Se A vencer, vai para 2 a 0, que vale 56; se perder, fica 1 a 1, que vale 32. A média é

Pascal enviou a Fermat exatamente esta sequência: 48, 56 e 44 pistolas.

A regra geral

Chamemos de $P(a,b)$ a chance de A vencer o jogo quando lhe faltam $a$ vitórias e faltam $b$ para B. Se $a=0$, A já venceu: $P(0,b)=1$. Se $b=0$, B já venceu: $P(a,0)=0$. Nos outros casos, a próxima rodada dá

A parte justa de A é o prêmio vezes $P(a,b)$. No exemplo de 2 a 1 num jogo de 3, faltam $a=1$ e $b=2$, e $P(1,2)=\frac34$; $\frac34$ de 64 dá as 48 pistolas.

Repare que a regra tem a mesma forma do triângulo aritmético: cada valor é a média de dois vizinhos. Não é coincidência, e Pascal usou o triângulo para resolver o problema de uma vez para qualquer placar.

Uma nova matemática

Antes de 1654, o acaso era assunto de jogadores, não de matemáticos. A carta de Pascal introduz a ideia que hoje chamamos de valor esperado: o que cada jogador merece é o prêmio multiplicado pela chance de ganhá-lo. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens, que soube das cartas em Paris, publicou o primeiro livro sobre o assunto. Seguradoras, loterias e bancos passaram a fazer essa conta, e fazem até hoje.

Fontes: cartas de Pascal e Fermat de 1654, em tradução inglesa · biografia de Pascal, MacTutor.

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