Uma lupa para localizar as raízes

Compare √2, √4 e √5. Mude as casas decimais e observe o intervalo ficar mais estreito.

Explore os controles e explique o que mudou com suas próprias palavras.

Quem pertence à reta real?

Número Classificação Justificativa
−3 Inteiro e racional −3 = −3/1
0,5 Racional 0,5 = 1/2
0,333… periódico Racional É igual a 1/3
√2 Irracional Não pode ser escrito como quociente de inteiros

Todos são reais. A escrita decimal de um racional é finita ou eventualmente periódica. A de um irracional é infinita e não periódica.

Aproximar não é tornar igual

Para localizar √2, compare quadrados: 1,4² = 1,96 e 1,5² = 2,25. Assim, 1,4 < √2 < 1,5. Refinando: 1,41² = 1,9881 e 1,42² = 2,0164; logo, 1,41 < √2 < 1,42.

A escrita √2 é exata. Já 1,414 é uma aproximação racional de um número irracional: √2 ≈ 1,414, e não √2 = 1,414.

Entre dois números há mais números

Entre 1,4 e 1,5 podemos escolher 1,45. Entre 1,4 e 1,45, podemos escolher 1,425. Na reta real não existe um próximo número imediatamente depois de um número dado: entre dois reais diferentes, sua média é outro real.

Desafio das raízes

√9 e √3 são ambos irracionais? Entre quais inteiros fica √3?

Conferir a investigação

√9 = 3 é racional. √3 é irracional e fica entre 1 e 2, pois 1² < 3 < 2². Nem toda raiz é irracional.