Girar um vetor

Considere os vetores unitários horizontal e vertical. Depois de um giro de $a$, eles passam a apontar, respectivamente, para $(\cos a,\sin a)$ e $(-\sin a,\cos a)$. O segundo é perpendicular ao primeiro, no sentido positivo.

O ponto correspondente a $b$ é a soma de $\cos b$ vezes o vetor horizontal com $\sin b$ vezes o vertical. A rotação conserva essa decomposição. Depois de girar $a$:

$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$

Demonstrar e reunir as fórmulas

Comparando as coordenadas, obtemos as fórmulas da soma. Substituir $b$ por $-b$ e usar a paridade dá as da diferença:

$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$

$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.$$

As escolhas de sinais são correspondentes: o sinal superior em toda a fórmula ou o inferior em toda a fórmula.

Dividindo seno por cosseno e depois numerador e denominador por $\cos a\cos b$:

$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$

Essa escrita exige que $\tan a$, $\tan b$ e o resultado existam. Em particular, o denominador não pode ser zero.

Dividindo cosseno por seno e usando $\cot a=\cos a/\sin a$:

$$\cot(a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b},$$

$$\cot(a-b)=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot b-\cot a}.$$

Essas duas formas exigem $\sin a\sin b\ne0$ e denominadores finais não nulos. Uma expressão com cotangentes pode ter domínio menor que o quociente escrito diretamente com senos e cossenos.

Exemplo de um valor novo

Para $75°=45°+30°$:

$$\begin{aligned} \sin75° &=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

A fórmula da diferença fornece $\sin15°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$. Somar ângulos não significa somar seus senos: $\sin(a+b)$ envolve as duas coordenadas.

No dia a dia

  • Rotação de imagens. Girar uma foto aplica a cada ponto a matriz de rotação, que nada mais é do que as fórmulas de seno e cosseno da soma.
  • Mapas no celular. Somar o giro da bússola à direção mostrada na tela é somar arcos.
  • Valores novos. Com $45^\circ$ e $30^\circ$ obtêm-se valores exatos para $15^\circ$ e $75^\circ$, úteis em cortes e encaixes de marcenaria.
A rotação de uma figura, ponto a ponto, pelas fórmulas de adição.

Exercícios com resolução

1. Calcule $\cos75°$.

Conferir resolução 1

$\cos(45°+30°)=\sqrt6/4-\sqrt2/4=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.

2. Calcule $\tan15°$.

Conferir resolução 2

$\tan(45°-30°)=(1-1/\sqrt3)/(1+1/\sqrt3)=2-\sqrt3$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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