Uma pergunta para cada capítulo

Faça os problemas em mais de uma sessão, sem pressa. Primeiro desenhe e explique qual ferramenta escolheu. Confira as resoluções depois da tentativa. Se um assunto ainda parecer novo, volte ao capítulo indicado pelo número do desafio.

1. Giros. Uma roda de raio 12 cm gira $120°$. Quanto percorre um ponto da borda ao longo da circunferência?

Resolução 1

$120°=2\pi/3$ rad. O comprimento do arco é $s=r\theta=12\cdot2\pi/3=8\pi$ cm. É um terço do comprimento total $24\pi$ cm.

2. Ondas. A altura de uma cabine é $h(\theta)=9+7\operatorname{sen}\theta$, em metros. Quais são as alturas mínima e máxima?

Resolução 2

Como $-1\le\operatorname{sen}\theta\le1$, a altura mínima é $9-7=2$ m e a máxima, $9+7=16$ m. A amplitude é 7 m, metade da diferença entre as alturas extremas.

3. Identidades. Se $\cos\theta=-7/25$ e $\theta$ está no segundo quadrante, encontre seno e tangente.

Resolução 3

$\operatorname{sen}^2\theta=1-49/625=576/625$. O seno é positivo no segundo quadrante: $\operatorname{sen}\theta=24/25$. A tangente é $(24/25)/(-7/25)=-24/7$.

4. Simetria. Calcule $\operatorname{sen}(-150°)$ e $\cos240°$.

Resolução 4

Como seno é ímpar, $\operatorname{sen}(-150°)=-\operatorname{sen}150°=-1/2$. Como $240°=180°+60°$, $\cos240°=-\cos60°=-1/2$.

5. Polígonos. Calcule o lado e o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio 4 cm.

Resolução 5

Para $n=3$, $\ell=2R\operatorname{sen}(\pi/3)=8\cdot\sqrt3/2=4\sqrt3$ cm. O perímetro é $3\ell=12\sqrt3$ cm.

6. Transformações. Encontre $\tan75°$ usando $75°=45°+30°$.

Resolução 6

Pela fórmula da soma:

$$\tan75°=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3} =\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=2+\sqrt3.$$

Na última etapa, multiplicamos por $(\sqrt3+1)/(\sqrt3+1)$. Nenhum denominador é zero.

7. Equações. Resolva $2\operatorname{sen} x-\sqrt3=0$ em $[0°,360°)$.

Resolução 7

$\operatorname{sen} x=\sqrt3/2$. O ângulo de referência é $60°$. O seno é positivo no primeiro e no segundo quadrantes: $x=60°$ ou $x=120°$.

8. Inequações. Resolva $\cos x\le-1/2$ em $[0°,360°)$.

Resolução 8

As igualdades ocorrem em $120°$ e $240°$. O arco à esquerda da reta vertical de coordenada $-1/2$ está entre esses ângulos. Como a desigualdade inclui a igualdade, a solução é $[120°,240°]$.

9. Uma medida no pátio. Seus olhos estão a 1,2 m do chão. A 10 m de distância horizontal de um poste, em terreno plano, você mede $30°$ de elevação até o topo. Qual é a altura do poste?

Resolução 9

O desnível entre os olhos e o topo é $10\tan30°=10\sqrt3/3$ m. A altura total é $1{,}2+10\sqrt3/3$ m, aproximadamente 6,97 m.

10. Um triângulo completo. Um triângulo retângulo tem catetos 6 e 8 cm e hipotenusa 10 cm. Calcule área, raio da circunferência circunscrita e raio do círculo inscrito.

Resolução 10

A área é $K=6\cdot8/2=24$ cm². Pela fórmula $K=abc/(4R)$, temos $R=(6\cdot8\cdot10)/(4\cdot24)=5$ cm. O semiperímetro é $s=(6+8+10)/2=12$ cm, então $r=K/s=2$ cm.

Projeto de encerramento

Faça uma página com uma figura de sua autoria, uma demonstração que você consiga explicar em voz alta e um problema novo sobre giros ou medidas. Resolva seu problema antes de passá-lo a outra pessoa. A explicação deve deixar claros os dados, a unidade do ângulo e o motivo da escolha da fórmula.

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