Exercícios do capítulo 14 — Triângulos retângulos

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine $x$ em função de $a$ nos casos:

Determine $x$ nos casos:

Determine $x$ nos casos:

Escreva 10 relações métricas com os elementos indicados na figura.

Determine $x$ nos casos:

Na figura, determine os elementos $x$, $y$, $z$ e $t$.

Determine $x$ e $y$ nos casos:

Determine o valor de $x$.

Calcule os elementos $y$, $z$, $t$ e $x$ na figura.

Determine o raio do círculo nos casos:

Determine $x$ nos casos: a) triângulo isósceles; b) triângulo equilátero.

Determine o valor de $x$ nos casos: a) retângulo; b) quadrado.

Determine o valor de $x$ nos trapézios isósceles.

Determine o valor de $x$ nos trapézios retângulos.

Determine o valor de $x$ nos losangos.

Determine o valor de $x$ nos paralelogramos.

Determine a altura do trapézio da figura.

Determine o valor de $x$ nos casos.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Ver a resolução do livro (item d)

Traçando os raios que vão até os pontos de contato, obtemos um trapézio retângulo cuja altura é $x$. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado:

$$x^2 + 1^2 = 8^2 \;\Rightarrow\; x^2 = 63 \;\Rightarrow\; x = 3\sqrt{7}.$$

Determine o raio do círculo nos casos:

Determine o valor de $x$ nos casos (em b, $AB = 15$):

Determine o raio do círculo nas figuras: a) trapézio retângulo de bases 10 m e 15 m; b) $AH = 25$ m, $BC = 30$ m e $AB = AC$.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine o raio do círculo, nos casos, se o triângulo retângulo possui: a) catetos de 6 m e 8 m; b) um cateto de 8 m e hipotenusa de $4\sqrt{13}$ m.

Determine o valor de $x$ nas figuras:

Determine a diagonal de um quadrado de perímetro 20 m.

Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20 m e base 6 m.

O perímetro de um losango é 52 m e uma diagonal mede 10 m. Calcule a outra diagonal.

Determine a altura de um triângulo equilátero de perímetro 24 m.

Determine o perímetro de um triângulo equilátero de altura 6 m.

O perímetro de um triângulo isósceles é de 18 m e a altura relativa à base mede 3 m. Determine a base.

Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4 m, 5 m e 6 m.

Determine a altura não relativa à base de um triângulo isósceles de lados 10 m, 10 m e 12 m.

A altura de um retângulo mede 8 m e a diagonal excede a base em 2 m. Calcule a diagonal.

O perímetro de um retângulo é de 30 m e a diagonal mede $5\sqrt{5}$ m. Determine os lados desse retângulo.

A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2 m. Determine a base, se o perímetro é de 36 m.

Cada um dos lados congruentes de um triângulo isósceles excede a base em 3 m. Determine a base, se a altura relativa a ela é de 12 m.

A diferença entre as medidas das diagonais de um losango de 68 m de perímetro é 14 m. Determine as diagonais desse losango.

As bases de um trapézio retângulo medem 3 m e 9 m e o seu perímetro é de 30 m. Calcule a altura.

Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, no triângulo retângulo de catetos 12 cm e 16 cm.

Calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4.

Dado um triângulo equilátero de lado $a$, calcule sua altura.

Uma escada de 2,5 m de altura está apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5 m da parede. Determine a altura que a escada atinge na parede, nessas condições.

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 m. Se a hipotenusa mede 25 m, calcule os catetos.

Num triângulo $ABC$, retângulo em $A$, a altura relativa à hipotenusa mede 1,2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo $m$ e $n$, respectivamente, as projeções do maior e do menor cateto sobre a hipotenusa, calcule $\dfrac{m}{n}$.

Dois ciclistas partem de uma mesma cidade em direção reta; um em direção leste e outro em direção norte. Determine a distância que os separa depois de duas horas, sabendo que a velocidade dos ciclistas é de 30 km/h e 45 km/h, respectivamente.

As bases de um trapézio isósceles medem 12 m e 20 m, respectivamente. A soma dos lados não paralelos é igual a 10 m. Quanto mede a altura?

As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 19 e os lados não paralelos, 10. Calcule a altura desse trapézio.

Em um trapézio retângulo, a soma das bases é de 16 cm, sendo uma delas os $\dfrac{3}{5}$ da outra. Determine a altura, sabendo que o lado oblíquo mede 5 cm.

Na figura, calcule a altura do trapézio retângulo $ABCD$.

Sabendo que a soma dos quadrados dos catetos com o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 200, determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

Calcule o perímetro do triângulo isósceles de 16 cm de base e 6 cm de altura.

Determine a altura de um trapézio de bases 24 cm e 10 cm, sabendo que os lados não paralelos medem respectivamente 15 cm e 13 cm.

A base maior e um dos lados oblíquos às bases de um trapézio isósceles circunscritível a um círculo são respectivamente iguais a 18 cm e 13 cm. Determine a medida da altura do trapézio.

Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16 cm. Sendo 10 cm e 17 cm as medidas dos raios dos círculos, determine a distância entre seus centros.

Seja um ponto $P$, externo a uma circunferência. A menor distância desse ponto à circunferência vale 6 cm e a maior distância desse ponto à circunferência vale 24 cm. Determine o comprimento do segmento tangente à circunferência, por esse ponto.

Dois círculos de raios 12 cm e 20 cm são tangentes externamente. Determine o comprimento do segmento $\overline{PQ}$, tangente comum aos dois círculos, sendo $P$ e $Q$ pontos de tangência.

Um trapézio isósceles circunscritível tem bases medindo 8 cm e 16 cm. Calcule a altura do trapézio.

Prove que o diâmetro de um círculo inscrito em um trapézio isósceles é média geométrica entre as bases do trapézio.

Calcule a medida do raio do círculo, na figura, sabendo que $AD = 12$ cm, $AE = 15$ cm e $AB = 8$ cm.

Num triângulo isósceles de altura 8, inscreve-se uma circunferência de raio 3. Calcule a medida da base do triângulo.

Sobre a hipotenusa $\overline{AB}$ de um triângulo retângulo $ABC$ é construído um segundo triângulo retângulo $ABD$, com hipotenusa $\overline{AB}$. Se $BC = 1$, $AC = b$ e $AD = 2$, calcule $BD$.

No trapézio $ABCD$ da figura, a diagonal $\overline{AC}$ é perpendicular ao lado oblíquo $\overline{AD}$. Sendo $CD = 25$ cm e $AD = 15$ cm, determine a medida da altura do trapézio.

Determine a medida da diagonal $\overline{AC}$ do trapézio retângulo da figura, sabendo que as bases medem respectivamente 4 cm e 9 cm e que o lado $\overline{BC}$ mede $\sqrt{34}$ cm.

O segmento $\overline{AB}$ tem suas extremidades $A$ e $B$ como pontos de tangência às circunferências de centros $O_1$ e $O_2$. Sendo 15 cm e 3 cm os raios dessas circunferências, respectivamente, e 24 cm a distância entre seus centros, determine o segmento $\overline{AB}$.

Determine a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, sendo 24 m o seu perímetro e $\dfrac{24}{5}$ m a medida da altura relativa à hipotenusa.

Considere uma semicircunferência de diâmetro $AOB = 2r$. Construímos internamente duas novas semicircunferências com diâmetros $\overline{OA}$ e $\overline{OB}$ e uma circunferência tangente a essas três semicircunferências. Calcule a medida do raio dessa circunferência.

Do mesmo lado de uma reta são traçados três círculos tangentes à reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles têm raio igual a 16, calcule o raio do terceiro.

Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles nos vértices de um quadrado. Se o lado do quadrado mede 1, quanto medem os catetos dos triângulos retirados?

Consideremos dois círculos tangentes como na figura. Sendo $E$ o centro do círculo menor, $F$ o ponto de tangência entre os dois círculos e $a$ o lado do quadrado, determine o raio do círculo menor em função de $a$.

Considere um quadrado $Q$ de lado $a$ e cinco círculos de mesmo raio $r$ interiores a $Q$, dos quais um é concêntrico com $Q$ e tangente exteriormente aos quatro outros, e cada um destes tangencia dois lados consecutivos de $Q$. Determine a medida de $r$ em função da medida $a$ do lado do quadrado.

Na figura, determine o raio da circunferência, sabendo que $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$ tangenciam a circunferência nos pontos $C$ e $D$, respectivamente, e que $BE = 12$ cm e $AE = 54$ cm.

Dois teleféricos $T_1$ e $T_2$ partem de uma estação $E$ situada num plano horizontal, em direção aos picos $P_1$ e $P_2$ de duas montanhas. Determine a distância entre $P_1$ e $P_2$, sabendo que os teleféricos percorreram 1 500 m e 2 900 m, respectivamente, que a primeira montanha tem 900 m de altura e a segunda 2 000 m e que os pés das montanhas e $E$ estão em linha reta.

Sejam dois círculos tangentes entre si, internamente, como na figura. Sendo $PQ = 8$ cm e $ST = 3$ cm, calcule a medida de $\overline{RQ}$.

Num círculo de centro $O$ e raio $R$, considera-se uma corda $AB = \dfrac{R}{2}$. Calcule a medida do raio do círculo inscrito no setor circular $OAB$.

Sobre os lados de um quadrado, desenhamos externamente quatro triângulos isósceles com alturas relativas às bases iguais a 3 cm. Determine o perímetro do quadrado, sabendo que os vértices dos quatro triângulos pertencem a uma mesma circunferência, de raio igual a $3(\sqrt{2} + 2)$ cm.

Dois quadrados $ABCD$ e $CDEF$ têm em comum o lado $\overline{CD}$. Traçamos as diagonais $\overline{AC}$ e $\overline{EC}$. Sendo $AM = \dfrac{1}{3}AC$ e $EP = \dfrac{1}{2}CE$, com $M$ em $\overline{AC}$ e $P$ em $\overline{CE}$, determine o segmento $\overline{PM}$, em função do lado $a$ dos quadrados.

Determine a distância entre os pés da altura e da mediana relativas à hipotenusa de um triângulo retângulo de $(18 + 6\sqrt{3})$ m de perímetro, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são diretamente proporcionais aos números 1 e 3.

Determine o perímetro de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a altura relativas à hipotenusa medem, respectivamente, 4 cm e $2\sqrt{3}$ cm.

Dado o triângulo retângulo $ABC$ de catetos $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ respectivamente iguais a 80 cm e 60 cm, considere a altura $\overline{AH}$ e a mediana $\overline{AM}$ relativas à hipotenusa do triângulo. Calcule as medidas dos segmentos $\overline{AH}$, $\overline{AM}$, $\overline{HB}$, $\overline{HC}$, $\overline{MH}$, bem como a hipotenusa do triângulo.

Determine a altura relativa à base de um triângulo isósceles em função da base $a$ e do raio $r$ do círculo inscrito.

Determine a bissetriz interna relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$.

Ver a resolução do livro

Seja $x$ a medida da bissetriz $\overline{AS}$ relativa à hipotenusa. Por $S$ traçamos um segmento $\overline{SP}$ paralelo a um dos catetos — paralelo a $b$, por exemplo. O triângulo $APS$ é retângulo e isósceles ($A\hat SP = 45^{\circ}$), com catetos $y$:

Os triângulos $BAC$ e $BPS$ são semelhantes. Então:

$$\begin{cases} y^2 + y^2 = x^2 \\ \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{c - y} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \dfrac{x}{\sqrt{2}} \\ c\,y = bc - by \end{cases} \Rightarrow c\,\frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\,\frac{x}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}\,bc}{b + c}.$$

Num triângulo isósceles $ABC$, $M$ é um ponto qualquer da base $\overline{BC}$. Demonstre que $(AB)^2 - (AM)^2 = (MB) \cdot (MC)$.

Determine o perímetro de um triângulo isósceles em função da projeção $a$ da altura relativa à base do triângulo sobre um dos lados congruentes, e em função dessa altura $h$.

Em um quadrado $ABCD$ tomamos um ponto $E$, sobre o lado $\overline{AD}$, tal que $AE = \dfrac{1}{4}AD$, e o ponto $O$, médio de $\overline{AB}$. Sendo $\overline{OP}$ perpendicular a $\overline{CE}$, em que $P$ é o pé da perpendicular tomado sobre $\overline{CE}$, prove que $(OP)^2 = (EP) \cdot (CP)$.

Consideremos um triângulo $ABC$ e as bissetrizes $\overline{AD}$ interna e $\overline{AE}$ externa ao triângulo. Prove que

Seja um semicírculo de diâmetro $AB = 2r$ e as tangentes $\overrightarrow{AX}$ e $\overrightarrow{BY}$ ao semicírculo. A tangente em um ponto $C$, qualquer, da semicircunferência encontra $\overrightarrow{AX}$ em $D$ e $\overrightarrow{BY}$ em $E$. Demonstre que $(CD) \cdot (CE) = r^2$.

Determine $\operatorname{sen}\alpha$ nos casos:

Determine $\cos\alpha$ nos casos:

Obtenha $\operatorname{tg}\alpha$ nos casos:

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine os valores de $x$ e $y$ nos casos: a) retângulo; b) paralelogramo; c) paralelogramo; d) trapézio retângulo; e) trapézio isósceles.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Um ponto de um lado de um ângulo de 60° dista 16 m do vértice do ângulo. Quanto ele dista do outro lado do ângulo?

Um ponto de um lado de um ângulo de 30° dista 6 m do outro lado. Determine a distância da projeção ortogonal desse ponto sobre este outro lado até o vértice do ângulo.

Um ponto $P$ interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância entre $P$ e o vértice desse ângulo?

Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 10 m dos lados do ângulo. Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo?

Um ponto $P$, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, $\sqrt{2}$ m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre $P$ e o vértice desse ângulo.

Um ponto $P$, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre $P$ e a bissetriz do ângulo?

Um ponto $P$, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre $P$ e o vértice desse ângulo.

Um ponto $P$, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e $3\sqrt{13}$ m do vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo?

Um ponto $P$, externo de um ângulo de 60°, dista $9\sqrt{3}$ m e $3\sqrt{3}$ m dos lados do ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre $P$ e a bissetriz do ângulo?

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Calcule um dos ângulos agudos do triângulo.

Pelo vértice $B$ de um quadrado $ABCD$ de lado $a$, toma-se no interior do quadrado um segmento $\overline{BS}$ que forma um ângulo igual a 30° com $\overline{BA}$, com $S$ em $\overline{AD}$. Determine $AS$ e $BS$.

Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60°. Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob ângulo de 45°. Calcule a altura do edifício.

Os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ de um triângulo $ABC$ medem respectivamente $a$ e $2a$, sendo 45° o ângulo formado por eles. Calcule a medida da altura $\overline{BD}$ e o lado $\overline{BC}$ do triângulo, em função de $a$.

As bases de um trapézio retângulo são $b$ e $2b$ e um dos ângulos mede 60°. Calcule a altura.

Um dos ângulos agudos de um trapézio isósceles mede 60°. Sendo os lados não paralelos congruentes à base menor do trapézio e $m$ a medida da base maior, determine o perímetro do trapézio em função de $m$.

Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual à sua base média multiplicada por $\sqrt{3}$.

A base maior de um trapézio isósceles mede 100 cm e a base menor, 60 cm. Sendo 60° a medida de cada um de seus ângulos agudos, determine a altura e o perímetro do trapézio.

Determine $\operatorname{tg}\alpha$, sabendo que $E$ é ponto médio do lado $\overline{BC}$ do quadrado $ABCD$.

Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de raio.

Seja $AB = 3r$, tangente em $A$ a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$. Traça-se por $B$ a tangente $\overline{BC}$, que tem $C$ por ponto de contato. Calcule a distância de $C$ à reta $\overleftrightarrow{AB}$.

Consideremos um triângulo retângulo $ABC$, em que a medida de um ângulo agudo é $\alpha$. Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de $\alpha$ e da hipotenusa $a$.

Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos.

Na figura temos um quadrado e um triângulo equilátero. Determine as incógnitas.