Euler's Eyes
2026-10-25
Ler antes de calcular: o quadro de Bogdanov-Belsky
Em 1895, o pintor russo Nikolai Bogdanov-Belsky expôs um quadro chamado Cálculo mental. Na escola popular de S. A. Rachinsky. Numa sala de aula de aldeia, meninos camponeses descalços olham para o quadro-negro, alguns com a mão no queixo, um cochichando no ouvido do professor. No quadro está escrito:
$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$
O professor de verdade existiu. Serguei Rachinsky era professor de botânica na Universidade de Moscou e largou a carreira para ensinar filhos de camponeses na aldeia de Tatevo, onde tinha nascido. Gostava de propor contas que pareciam enormes e tinham um atalho. O próprio Bogdanov-Belsky tinha sido aluno dele.
A conta que não precisa ser feita
Quem calcula na ordem em que lê precisa elevar cinco números ao quadrado, somar resultados de três algarismos e dividir por $365$. É possível, mas é longo. Quem olha antes percebe outra coisa:
$$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$O numerador é $365 + 365$, e a resposta é $2$. O número $365$ no denominador era uma pista: ele avisa que o numerador deve se partir em pedaços desse tamanho.
A diferença entre os dois caminhos não está na habilidade de fazer contas. Está na leitura. Uma expressão tem uma forma: antes de qualquer cálculo, dá para ver que ela é uma fração, que o numerador é uma soma de cinco quadrados, que os números são consecutivos. O capítulo 2 mostrou que toda fórmula tem uma árvore escondida; ler bem é enxergar a árvore antes de subir nela.
O símbolo de duas caras
Para os meninos de Rachinsky, $13^2$ é ao mesmo tempo uma ordem (“multiplique 13 por 13”) e uma coisa (o número $169$, que se pode somar a outro). Os educadores matemáticos Eddie Gray e David Tall chamaram esse duplo papel de proceito, uma junção de processo e conceito, num artigo de 1994. O mesmo sinal $3+4$ pode ser lido como “some 3 e 4” ou como o número $7$; $\frac{a}{b}$ como “divida” ou como uma fração que se compara com outras.
Segundo Gray e Tall, a diferença entre os alunos que avançam e os que empacam está muito nisso. Quem só enxerga o processo precisa refazer tudo a cada passo e se afoga em contas longas. Quem consegue tratar o símbolo como objeto pode guardá-lo, compará-lo, combiná-lo. A notação ativa de que fala este livro é justamente a que permite essa troca: escrever $13^2$ em vez de “treze vezes treze” transforma uma tarefa num objeto.
Por compreensão relacional entendo o que sempre entendi por compreensão: saber o que fazer e por quê. A compreensão instrumental é o que no passado descrevi como “regras sem razões”.
— Richard Skemp, “Relational understanding and instrumental understanding” (1976)
O psicólogo inglês Richard Skemp separou, em 1976, essas duas maneiras de entender. A instrumental aplica a regra certa na hora certa e funciona muito bem enquanto o problema é o de sempre. A relacional sabe de onde a regra vem e, por isso, percebe quando um atalho está disponível, como o $365$ do quadro.
Exercício: o próximo quadro
A igualdade $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$ tem uma irmã maior, com quatro quadrados à esquerda e três à direita. Confira que $21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2$.
À esquerda: $441 + 484 + 529 + 576 = 2030$. À direita: $625 + 676 + 729 = 2030$. As duas famílias continuam: $36^2+\cdots+40^2 = 41^2+\cdots+44^2$, com cinco e quatro quadrados. Um professor como Rachinsky poderia escrever no quadro $\frac{21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2}{2030}$, e a resposta seria de novo $2$.
Exercício: qual é a última operação?
Sem calcular, diga qual é a operação principal (a última a ser feita) em $3 + 4 \cdot 5^2$ e em $(3+4) \cdot 5^2$. Depois calcule as duas.
Na primeira, a última operação é a soma: $3 + (4 \cdot 25) = 103$. Na segunda, é a multiplicação: $7 \cdot 25 = 175$. Reconhecer a operação principal é reconhecer a raiz da árvore da expressão, e é o primeiro passo para saber o que se pode simplificar.
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