Euler's Eyes
2026-10-11
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas corta duas transversais em partes proporcionais. É com essa ideia que se divide uma tábua em partes iguais sem fazer contas.
Quem descobriu
O resultado leva o nome de Tales de Mileto (século VI a.C.), associado pela tradição à medição da altura da Grande Pirâmide pelas sombras (veja a curiosidade sobre ele na abertura do capítulo). A demonstração que conhecemos é de Euclides, na proposição VI.2 dos Elementos (c. 300 a.C.), e usa áreas de triângulos. O nome “teorema de Tales” para esse resultado é uma tradição de países como Brasil, Portugal, França, Espanha e Itália; em alemão e em inglês, o mesmo nome se refere ao ângulo inscrito na semicircunferência.
A história
Não há registro de que Tales tenha demonstrado o teorema. O que as fontes contam é que ele usou a proporcionalidade para medir alturas e distâncias. A prova de Euclides precisava funcionar também para segmentos incomensuráveis, e por isso se apoia na teoria das proporções de Eudoxo, do livro V.
O nome parece ter se fixado nos livros didáticos franceses do fim do século XIX e de lá passou para o ensino brasileiro. Já a atribuição do ângulo na semicircunferência a Tales é mais antiga e vem de Diógenes Laércio.
No dia a dia
- Dividir uma tábua em partes iguais. O marceneiro inclina a trena sobre a tábua até que uma medida “redonda” (por exemplo, 30 cm para 5 partes) caiba de borda a borda, e marca de 6 em 6 cm: as marcas dividem a largura em partes iguais.
- Escalas. Mapas, maquetes e plantas mantêm as proporções do original.
- Pautas e grades. Retas paralelas igualmente espaçadas cortam qualquer reta inclinada em partes iguais.
- Perspectiva. Desenhistas usam a proporcionalidade para espaçar postes e janelas que se afastam no desenho.
Fontes: Tales (MacTutor) · Elementos, proposição VI.2 · Elementos, livro V.
Teoria e construções
DefiniçãoFeixe de paralelas e transversais
- Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares paralelas entre si.
- Transversal do feixe é uma reta do plano que corta todas as retas do feixe.
- Pontos correspondentes de duas transversais estão numa mesma reta do feixe; segmentos correspondentes têm extremidades em pontos correspondentes.
PropriedadePartes congruentes
Se duas retas são transversais de um feixe de paralelas distintas e um segmento de uma delas é dividido em $p$ partes congruentes, e pelos pontos de divisão passam retas do feixe, então o segmento correspondente da outra transversal também fica dividido em $p$ partes congruentes entre si.
Ver a demonstração
1ª parte (número de partes). Se o segmento correspondente ficasse dividido em menos (ou mais) partes, pelo menos duas retas do feixe se encontrariam — absurdo, pois são paralelas.
2ª parte (congruência). Pelos pontos de divisão da segunda transversal traçamos paralelas à primeira. Formam-se paralelogramos e triângulos com um lado congruente a $x$ e ângulos de lados respectivamente paralelos; por ALA, os triângulos são todos congruentes. Logo as partes da segunda transversal são congruentes.
TeoremaTeorema de Tales
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra:
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}, \qquad\text{ou ainda}\qquad \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{CD}{C^{\prime}D^{\prime}}.$$A razão entre segmentos correspondentes é constante.
Ver a demonstração
1º caso: $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ comensuráveis. Existe um segmento $x$ que cabe $p$ vezes em $\overline{AB}$ e $q$ vezes em $\overline{CD}$: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{p}{q}$. Traçando retas do feixe pelos pontos de divisão, pela propriedade anterior $A^{\prime}B^{\prime} = p\,x^{\prime}$ e $C^{\prime}D^{\prime} = q\,x^{\prime}$, logo $\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}} = \dfrac{p}{q}$.
2º caso: incomensuráveis. Tomamos $y$ que cabe $n$ vezes em $\overline{CD}$; então $m\,y < AB < (m+1)\,y$ para algum $m$, isto é, $\dfrac{m}{n} < \dfrac{AB}{CD} < \dfrac{m+1}{n}$. Pela propriedade anterior, o mesmo vale para $\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}$. Diminuindo $y$ (aumentando $n$), as frações $\dfrac{m}{n}$ e $\dfrac{m+1}{n}$ definem um único número real — que é igual às duas razões.
ExemploDividir um segmento em partes iguais
Para dividir $\overline{AB}$ em $p$ partes congruentes, traçamos uma semirreta auxiliar por $A$, marcamos nela $p$ segmentos iguais com o compasso, ligamos a última marca a $B$ e traçamos paralelas a essa reta pelas outras marcas. Pelo teorema de Tales, elas dividem $\overline{AB}$ em $p$ partes congruentes.
PropriedadeParalela a um lado do triângulo
Uma reta paralela a um lado de um triângulo que corta os outros dois lados divide-os na mesma razão. Reciprocamente, se $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$, com $D \in \overline{AB}$ e $E \in \overline{AC}$, então $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ (exercício 427).