Euler's Eyes
2026-10-19
Ângulos notáveis: dobrando triângulos e polígonos
No livro interativo: capítulo V completo, com todas as demonstrações e exercícios.
Faça um quadrado
Desenhe um quadrado de lado 1 e trace uma diagonal. Ela divide dois ângulos retos ao meio: aparecem dois triângulos com ângulos de $45°$, $45°$ e $90°$. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, seno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa; cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Essas razões coincidem com as coordenadas do ciclo: basta reduzir a hipotenusa à medida 1, sem alterar os ângulos.
Demonstração: o valor de 45 graus
No triângulo do quadrado, os catetos medem 1 e a hipotenusa $\sqrt2$. Logo:
$$\operatorname{sen}45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$Multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt2$ para obter a última forma. A tangente vale $1/1=1$.
Demonstração: os valores de 30 e 60 graus
Faça agora um triângulo equilátero de lado 2. Seus três ângulos são iguais e somam $180°$, portanto medem $60°$. Trace a altura a partir de um vértice. Por simetria, ela divide a base em duas partes de medida 1 e o ângulo superior em dois de $30°$.
No triângulo retângulo formado, a hipotenusa é 2, o cateto menor é 1 e a altura é $h$. Pitágoras fornece:
$$h^2+1^2=2^2\quad\Rightarrow\quad h=\sqrt3.$$Para o ângulo de $30°$, o cateto oposto mede 1; para o de $60°$, mede $\sqrt3$. Obtemos a tabela:
| Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| $30°=\pi/6$ | $1/2$ | $\sqrt3/2$ | $\sqrt3/3$ |
| $45°=\pi/4$ | $\sqrt2/2$ | $\sqrt2/2$ | 1 |
| $60°=\pi/3$ | $\sqrt3/2$ | $1/2$ | $\sqrt3$ |
A tabela é o resultado de dois desenhos. Se esquecer uma entrada, refaça o triângulo.
Polígonos regulares também guardam senos
Um polígono regular tem todos os lados e todos os ângulos iguais. Inscreva um deles, com $n\ge3$ lados, em uma circunferência de raio $R$. Ligue dois vértices vizinhos ao centro. O triângulo isósceles formado tem ângulo central de $360°/n$ e base de comprimento $\ell$.
A altura que parte do centro corta a base e o ângulo central ao meio. Em uma metade, a hipotenusa vale $R$, o cateto oposto ao ângulo $180°/n$ vale $\ell/2$. Portanto:
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}=\frac{\ell}{2R}, \qquad \ell=2R\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}.$$Para um hexágono, $n=6$: $\ell=2R\operatorname{sen}30°=R$. Para um quadrado, $\ell=2R\operatorname{sen}45°=R\sqrt2$. Essa relação explica como medidas de polígonos ajudam a calcular valores trigonométricos.
Verifique a escala
Se o triângulo equilátero tiver lado 10 em vez de 2, todas as medidas serão multiplicadas por 5. As razões continuarão iguais. Seno não é um comprimento: é uma razão sem unidade.
No dia a dia
- Favos e ladrilhos. Hexágonos e triângulos equiláteros cobrem o chão sem deixar buracos porque seus ângulos ($120^\circ$ e $60^\circ$) dividem $360^\circ$ exatamente.
- Origami. As dobras mais comuns são de $45^\circ$ (dobrar o quadrado na diagonal) e de $30^\circ$ e $60^\circ$ (dividir uma folha em três).
- Esquadros. O par de esquadros do estojo escolar guarda os ângulos de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Qual é a diagonal de um quadrado de lado 6 cm?
Ver resolução 1
$d^2=6^2+6^2=72$, então $d=6\sqrt2$ cm.
2. Qual é a altura de um triângulo equilátero de lado 8 cm?
Ver resolução 2
A metade da base é 4 e a hipotenusa é 8. $h=\sqrt{64-16}=4\sqrt3$ cm.
3. Calcule $2\operatorname{sen}30°+\cos60°$.
Ver resolução 3
$2\cdot1/2+1/2=3/2$.
4. Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio 5 cm. Qual é seu perímetro?
Ver resolução 4
Cada lado mede 5 cm. O perímetro é $6\cdot5=30$ cm.
5. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio 3 cm. Quanto mede seu lado?
Ver resolução 5
$\ell=2\cdot3\operatorname{sen}45°=3\sqrt2$ cm.
6. No círculo de raio 1, um triângulo equilátero inscrito tem lado $\sqrt3$. Use isso para achar $\operatorname{sen}60°$.
Ver resolução 6
Para $n=3$, $\operatorname{sen}(\pi/3)=\ell/(2R)=\sqrt3/2$.