Euler's Eyes
2026-10-11
A notação de Leibniz: uma linguagem para as mudanças
Nos símbolos, observa-se uma vantagem para a descoberta que é maior quando eles exprimem a natureza exata de uma coisa de forma breve e, por assim dizer, a retratam. Então, de fato, o trabalho do pensamento é maravilhosamente reduzido.
— Leibniz, carta a Tschirnhaus (1678)
Newton chegou primeiro ao cálculo, mas quem decidiu como ele seria escrito foi Leibniz. E a escrita fez toda a diferença.
A letra d
Em 11 de novembro de 1675, num manuscrito em Paris, Leibniz passou a usar a letra $d$ para indicar uma diferença infinitamente pequena. O $d$ vem do latim differentia, palavra ligada ao verbo differre, “separar, levar para lados diferentes”. Assim:
- $dx$ é uma diferença minúscula entre dois valores de $x$ muito próximos;
- $dy$ é a diferença correspondente em $y$;
- $\dfrac{dy}{dx}$ é a razão entre elas: quanto $y$ muda para cada pedacinho de mudança em $x$.
Daí vem o nome cálculo diferencial: o cálculo das diferenças.
Uma conta com dx
Leibniz tratava $dx$ e $dy$ como quantidades de verdade, só que infinitamente pequenas. Para $y=x^2$, se $x$ muda para $x+dx$, então
$$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$Como $(dx)^2$ é infinitamente menor que $dx$, ele o despreza, e fica $dy=2x\,dx$, ou seja,
$$\frac{dy}{dx}=2x.$$É a mesma conta de Newton com as fluxões, escrita de outro jeito. Hoje justificamos o passo de “desprezar $(dx)^2$” com limites: a razão entre as diferenças finitas é $2x+h$, e quando $h\to0$ ela tende a $2x$.
O artigo de 1684
Leibniz publicou suas regras em outubro de 1684, na revista Acta Eruditorum, de Leipzig, com um título enorme: Novo método para máximos e mínimos, e também para tangentes, que não é impedido por quantidades fracionárias ou irracionais, e um tipo singular de cálculo para isso. Eram seis páginas densas, cheias de erros de impressão, e quase ninguém entendeu. Os irmãos Jakob e Johann Bernoulli entenderam, e foram eles que espalharam o cálculo pela Europa.
A ideia de função foi ganhando nome e símbolo aos poucos:
| Ano | Autor | Como escrevia |
|---|---|---|
| 1637 | René Descartes | uma equação entre $x$ e $y$ |
| 1671 | Isaac Newton | fluente, a grandeza que flui |
| 1673 | Leibniz | a palavra functio |
| 1718 | Johann Bernoulli | a primeira definição: uma quantidade formada de uma variável e de constantes |
| 1734 | Leonhard Euler | o símbolo $f(x)$ |
A regra da cadeia: o milagre da abreviação
A grande vantagem da notação de Leibniz aparece quando uma grandeza depende de outra, que depende de uma terceira. Comece com números comuns. Repare:
$$\frac34=\frac35\cdot\frac54,\qquad \frac45=\frac43\cdot\frac35.$$O número do meio se cancela. E continua se cancelando quando os números encolhem:
$$\frac{0{,}3}{0{,}4}=\frac{0{,}3}{0{,}5}\cdot\frac{0{,}5}{0{,}4},\qquad \frac{0{,}03}{0{,}04}=\frac{0{,}03}{0{,}05}\cdot\frac{0{,}05}{0{,}04}.$$Por menores que fiquem os números, o do meio some. Em geral, se $z$, $y$ e $x$ são números (com $y\ne0$ e $x\ne0$), então $\dfrac zx=\dfrac zy\cdot\dfrac yx$. Vale também para diferenças:
$$\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$E, passando às diferenças infinitamente pequenas, chegamos à regra da cadeia:
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.$$A fórmula parece um simples cancelamento de frações. Não é exatamente isso, porque a prova rigorosa exige cuidado com limites. Mas a notação lembra a regra certa sem esforço. É o que Leibniz chamava de uma abreviação que poupa o trabalho do pensamento.
Veja um exemplo. Se $z=y^2$ e $y=3x+1$:
$$\frac{dz}{dy}=2y,\qquad\frac{dy}{dx}=3\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dz}{dx}=2y\cdot3=6(3x+1).$$Com a notação de Newton, a mesma regra precisa ser escrita em palavras ou com mais cuidado. Com a de Leibniz, ela praticamente se escreve sozinha.
Por que a notação venceu
Os matemáticos do continente adotaram o $d$ de Leibniz, e com ele o cálculo avançou depressa nas mãos dos Bernoulli, de Euler e de Lagrange. Na Inglaterra, por fidelidade a Newton, ficou-se com os pontinhos por mais de cem anos, e a matemática inglesa ficou para trás. Hoje usamos os dois: $\dfrac{dy}{dx}$ no cálculo, $\dot x$ na física.
Exercício: derive y = (2x + 5)² com a regra da cadeia
Com $u=2x+5$: $\dfrac{dy}{du}=2u$ e $\dfrac{du}{dx}=2$. Logo $\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot2=4(2x+5)$.
Exercício: um balão esférico tem raio r = 2t (em cm, com t em segundos). A que taxa cresce o volume em t = 1?
$V=\frac43\pi r^3$, então $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$ e $\dfrac{dr}{dt}=2$. Pela regra da cadeia, $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot2$. Em $t=1$, $r=2$, e $\dfrac{dV}{dt}=32\pi\approx100{,}5$ cm³/s.
Fontes: Leibniz e a publicação do cálculo, MacTutor.
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