Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço.

— John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994)

John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

A teoria dos jogos em toda parte

O equilíbrio de Nash virou a linguagem comum da economia. Ele explica por que dois postos de gasolina na mesma esquina cobram quase o mesmo preço, por que as empresas fazem propaganda mesmo quando todas sairiam ganhando se ninguém fizesse, por que os acordos climáticos são tão difíceis. Nos anos 1990, governos de vários países passaram a vender as faixas de frequência para telefonia celular em leilões desenhados com teoria dos jogos, arrecadando dezenas de bilhões de dólares.

Na biologia, o britânico John Maynard Smith mostrou nos anos 1970 que a evolução também produz equilíbrios de Nash: as estratégias de comportamento que sobrevivem numa população são as que nenhuma mutação consegue melhorar. Na ciência política, o equilíbrio ajuda a entender eleições, guerras e votações no parlamento. Na computação, aparece no roteamento da internet e no projeto de algoritmos para mercados digitais. Desde 1994, vários prêmios Nobel de Economia foram dados a trabalhos de teoria dos jogos.

A matemática pura

O teorema da imersão e o método de Nash-Moser transformaram a geometria e a análise. A técnica que Nash inventou para o caso $C^1$, que o russo Mikhail Gromov chamou de integração convexa, deu origem a toda uma área, a dos fenômenos de “rigidez e flexibilidade”, e foi usada em 2018 para provar uma conjectura de Lars Onsager sobre a turbulência dos fluidos. O teorema de De Giorgi-Nash é a base da teoria moderna das equações diferenciais com coeficientes irregulares, que descrevem materiais compostos e meios porosos.

A doença e a recuperação

Nash também deixou uma lição sobre a doença mental. Durante trinta anos, foi visto como um homem acabado. A sua recuperação, parcial e lenta, mostrou que a esquizofrenia não é necessariamente uma condenação definitiva. Depois do Nobel, ele e Alicia se tornaram defensores de melhores tratamentos e de menos estigma; o filho do casal, John Charles, também matemático, teve esquizofrenia.

O que ficou

  • Teoria dos jogos. O equilíbrio de Nash para jogos de qualquer tipo, a existência em estratégias mistas e a solução de barganha.
  • Jogos de tabuleiro. O Hex, o argumento do roubo de estratégia e a ligação com o teorema do ponto fixo.
  • Geometria. Os teoremas de imersão isométrica, $C^1$ e suave, e a integração convexa.
  • Análise. O teorema de De Giorgi-Nash e o método de Nash-Moser para equações não lineares.
  • Ciência aplicada. Economia, biologia evolutiva, ciência política, leilões e computação.

Para lembrar

  • John Nash viveu de 1928 a 2015. Fez a obra principal entre os 20 e os 30 anos, em Princeton e no MIT.
  • No Hex nunca há empate, e o primeiro jogador sempre pode ganhar: é o argumento do roubo de estratégia.
  • Num equilíbrio de Nash, ninguém melhora mudando sozinho. O equilíbrio pode ser ruim para todos, como no dilema dos prisioneiros.
  • Todo jogo finito tem um equilíbrio em estratégias mistas. No par ou ímpar, cada um sorteia com chance de 50%.
  • Na barganha de Nash, maximiza-se o produto dos ganhos sobre o desacordo, e cada um leva o seu desacordo mais uma parte do excedente.
  • Toda variedade de Riemann pode ser desenhada sem distorção num espaço euclidiano; com suavidade só de primeira ordem, até o toro plano cabe no espaço comum.
  • Mesmo em materiais irregulares, o calor alisa: as soluções são contínuas de Hölder.

Fontes: Sylvia Nasar, Uma Mente Brilhante (Record, 2002) · nota autobiográfica de John Nash, Fundação Nobel · cartas de Nash à NSA (1955), divulgadas pela agência em 2012.

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