A aposta de Pascal: uma conta, não uma prova

Muita gente ouviu dizer que Pascal “provou que Deus existe”. Ele não fez isso, e disse com todas as letras que não dava para fazer. O que ele propôs é mais curioso: já que a razão não decide a questão, trocar a pergunta. Em vez de “Deus existe?”, perguntar “em que vale mais a pena apostar?”. E responder a essa segunda pergunta com a matemática que tinha acabado de inventar com Fermat, a das partilhas justas.

Um papel cheio de rabiscos

Nos últimos anos de vida, Pascal juntou anotações para um livro em defesa do cristianismo. Não chegou a escrevê-lo. Depois da sua morte, em 1662, os amigos encontraram centenas de fragmentos, alguns cortados com tesoura e presos por fios, e publicaram uma seleção em 1670 com o título de Pensamentos.

O fragmento da aposta é uma folha dobrada, escrita dos dois lados, com acréscimos nas margens e de cabeça para baixo. Os editores o chamam pelas primeiras palavras: “Infinito, nada”. É um diálogo entre Pascal e um interlocutor que não crê, talvez inspirado nos jogadores que ele conheceu na vida mundana de Paris, como o Cavaleiro de Méré.

A razão não decide

O ponto de partida é uma confissão de impotência:

Deus existe ou não existe. Mas para que lado nos inclinaremos? A razão nada pode determinar aqui. Há um caos infinito que nos separa. Joga-se um jogo, no extremo dessa distância infinita, em que vai dar cara ou coroa. Em que você vai apostar?

— Blaise Pascal, Pensamentos, fragmento “Infinito, nada”

O interlocutor responde que o certo é não apostar em nada. Pascal recusa a saída:

Sim, mas é preciso apostar. Isso não é voluntário: você está embarcado.

— Blaise Pascal, Pensamentos, fragmento “Infinito, nada”

Viver como quem crê ou viver como quem não crê já é uma escolha. Não escolher é escolher a segunda.

A tabela de quatro casas

Hoje a aposta se escreve como uma tabela. Há duas escolhas e dois estados do mundo:

Pascal percorre a tabela em três passos, cada um mais forte que o anterior. O filósofo Ian Hacking, num artigo de 1972, mostrou que são três argumentos diferentes, e que o terceiro é uma conta de valor esperado.

Primeiro passo: dominância. “Se você ganhar, ganha tudo; se perder, não perde nada. Aposte, então, que ele existe, sem hesitar.” Se crer fosse melhor ou igual em todas as colunas, não haveria nem o que calcular.

Segundo passo: a conta com chances iguais. O interlocutor objeta que perde alguma coisa, sim. Pascal aceita e faz as contas como num jogo de dados: com chances iguais de ganhar e perder, valeria a pena arriscar uma vida para ganhar duas; seria tolice não arriscar uma para ganhar três.

Terceiro passo: o infinito. E se as chances não forem iguais? Pascal responde que não importa:

Há aqui uma infinidade de vida infinitamente feliz a ganhar, uma chance de ganho contra um número finito de chances de perda, e o que você joga é finito.

— Blaise Pascal, Pensamentos, fragmento “Infinito, nada”

A conta

Seja $p$ a chance que você atribui à existência de Deus, por menor que seja, mas maior que zero. Seja $c$ o custo de uma vida de fé, um número finito, e $G$ o ganho se Deus existir. O valor esperado de crer é

Com $G$ finito, a conta pode dar qualquer coisa: depende de $p$, de $G$ e de $c$. Mas Pascal põe $G=\infty$. Então, para qualquer $p>0$,

e nenhuma alternativa finita compete. É a mesma ideia da partilha: o que cada aposta vale é o prêmio multiplicado pela chance. A diferença é que o prêmio agora é infinito.

Não é uma prova

Repare no que a conta não diz. Ela não aumenta em nada a chance $p$. Quem achava que Deus tinha uma chance em mil de existir continua achando, depois da aposta, que tem uma chance em mil. O argumento é sobre o que fazer, não sobre o que é verdade.

Pascal sabia disso. Logo depois da conta, o interlocutor diz: “Sou feito de tal maneira que não consigo crer.” E Pascal não lhe oferece uma demonstração. Aconselha que ele aja como os que creem, “tomando água benta, mandando dizer missas”, e que trabalhe para se convencer “não pelo aumento das provas de Deus, mas pela diminuição das suas paixões”. Para Pascal, a fé vinha do coração, não de um cálculo; a aposta servia apenas para mostrar ao jogador que a indiferença era a pior das escolhas.

As objeções

A aposta foi criticada desde que apareceu, e as críticas também ensinam matemática.

• Quais deuses? Em 1746, Denis Diderot escreveu que “um imã poderia dizer o mesmo”. Se cada religião promete um ganho infinito, a tabela não tem duas linhas, tem dezenas, e o infinito aparece em todas.
• Dá para crer por decisão? Ninguém passa a acreditar numa coisa só porque concluiu que seria vantajoso acreditar. Pascal concordava, e por isso falou em hábitos, não em decisões.
• O infinito estraga a conta. Uma pessoa que joga uma moeda para decidir se vai crer tem chance $\frac12$ de crer, e seu valor esperado é $\frac12\cdot p\cdot\infty=\infty$, igual ao de quem crê com certeza. Com o infinito na tabela, todas as estratégias que deixam alguma chance de crer empatam, e a conta deixa de distinguir as escolhas.
• O tom. Voltaire, em 1734, achou a ideia “um pouco indecente e pueril”: tratar a salvação como um jogo de cara ou coroa lhe parecia rebaixar o assunto.

Fontes: Blaise Pascal, Pensamentos, fragmento “Infini rien” (Lafuma 418, Sellier 680) · Ian Hacking, “The logic of Pascal’s wager”, American Philosophical Quarterly, 9(2), 1972, p. 186–192 · Pascal’s Wager, Stanford Encyclopedia of Philosophy.

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