Desde os gregos se sabia construir com régua e compasso os polígonos regulares de 3, 4, 5 e 15 lados, e todos os que saem deles dobrando o número de lados (6, 8, 10, 12…). Por 2000 anos, ninguém achou outro.

Gauss mostrou que construir o polígono de $n$ lados é o mesmo que calcular $\cos\frac{2\pi}{n}$ usando só números inteiros, as quatro operações e raízes quadradas. E régua e compasso sabem tirar raiz quadrada: é exatamente a construção que vimos no capítulo de Descartes. Para 17 lados, ele chegou a

$$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$

Só tem raízes quadradas, uma dentro da outra. Logo, o polígono de 17 lados pode ser construído.

Qual é a regra? Gauss descobriu que o polígono de $n$ lados pode ser construído quando $n$ é uma potência de 2 vezes primos de Fermat diferentes: os primos da forma $2^{2^k} + 1$, que são 3, 5, 17, 257 e 65 537. São os mesmos números de Fermat do capítulo de Euler, que mostrou que o próximo, $2^{32}+1$, não é primo. Em 1837, Pierre Wantzel provou que nenhum outro polígono pode ser construído.

Escolha o número de lados. Verde: dá para construir com régua e compasso. Vermelho: não dá.

Até 30 lados, os construtíveis são: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24 e 30. O de 7 lados, por exemplo, não pode ser construído. Veja também o post sobre polígonos regulares.

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