O jardim de cem flores

Pinte 25%, 50% e 75%. Quantas flores são coloridas em cada caso?

Explore os controles e explique o que mudou com suas próprias palavras.

A porcentagem pode ser definida como uma quantidade em relação a outra avaliada sobre a centena. Esta quantidade é um valor entre zero e 100. Ela está presente no noticiário, mercado financeiro e cotidiano em geral.

Representação decimal

As frações também podem ser chamados de proporções, razões, taxas ou porcentagens. Dependem de como vamos utilizar cada delas nas aplicações do cotidiano.

A repreesentação decimal é toda fração ou número racional, em que é multiplo de 10, por exemplo:

$$100, 1000, 10000 , \dots$$

Desta forma, vamos representar os números decimais como:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{10} &\quad \frac{2}{10} \dots\\ \frac{1}{100} &\quad \frac{2}{100} \dots\\ \frac{1}{1000} &\quad \frac{2}{1000} \dots\\ \vdots \qquad &\quad \vdots\\ \end{aligned} $$

A gênese do símbolo de porcentagem

Nos manuscritos italianos dos séculos XIV e XV, notamos a evolução desse símbolo, em que aconteceu de forma natural e curiosa.

Símbolo de Porcentagem.

Para entendermos essa evolução, basta notarmos a contração de uma palavra italiana Celsius, símbolo usado para temperatura:

Símbolo Celsius.

Com isso, permitiram que outros autores escrevessem:

Semelhança de Triângulo.

Porcentagem

Principalmentos nos principais anos escolares, a primeira ideia para compreensão das porcentagens é parte pelo todo. Em frações podemos indicar a relação que existe entre um número de partes e o número total de partes.

Vale lembrar que toda fração é também um razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. Desta forma, vamos apresentar as definições:

Definição: Fração é o resultados do quociente entre dois números inteiros ($\mathbb{Z}$), que no conjuntos dos racionais ($\mathbb{Q}$), a fração é um número racional.

Definição: Razão é o resultados do quociente entre dois números quaisquer. Aqui ainda não definimos os outros conjuntos, além dos racionais. Desta forma, por enquanto a razão é o resultado do quociente entre dois números.

Exemplo: Família com filhos

Problema: Suponhamos que uma família tenha 10 crianças, com 2 meninas e 8 meninos. Caso a pergunta seja de qual o razão de meninas em relação ao total de filhos, podemos responder:

$$\dfrac{2 \text{ filhas meninas } }{10 \text{ filhos no total} } = \dfrac{\text{ parte } }{ \text{ todo} }$$

Exemplo com altura de crianças

A seguir vamos apresentar duas meninas Terumi (esquerda) e Naomi (direita), cada uma com alturas diferentes (distintas). Neste caso, dizemos que:

  • A altura de Terumi é $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ da altura de Naomi
  • A altura de Nami é $\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ da altura de Naomi

Equivalência entre razão e porcentagem

A porcentagem vai ser apresentada como frações (razões) entre duas quantidades, em que o resultado desta razão é um número entre zero e 1. Por exemplo:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} & \\ \frac{1}{3} & \\ \frac{2}{3} & \\ \frac{1}{4} & \\ \vdots & \\ \end{aligned} $$

Basicamente as que o numerador é maior que o denominador. As razões em que o numerador é maior que o denominador, vamos classificar como taxas.

A porcentagem é representar um número racional entre zero e 1, como um número na representação decimal da seguinte forma:

$$ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \dfrac{ {\color{red}{50} } }{ {\color{red}{50} } } ~.~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{50}{100} = 50\%\\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{ {\color{red}{25} } }{ {\color{red}{25} } } ~.~ \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 25\%\\ \vdots & \\ \end{aligned} $$

Aplicativo para fixação do conceito de porcentagem

Para finalizarmos o post vamos exercitar o pensamento com um app que fizemos para entender a transição de razão para porcentagem.

Frações Frações representada de forma Gráfica

Agora podem interagir com App a seguir de porcentagens.

Este é um resumo para porcentagem. Nos próximos posts, vamos falar de outros conceitos de números racionais.