Euler's Eyes
2026-10-12
Aplicações do teorema de Pitágoras
A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema.
Quem descobriu
A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.
A história
Os egípcios já usavam uma razão trigonométrica para construir pirâmides: o papiro Rhind (c. 1650 a.C.) calcula o seked, quantos palmos a face avança na horizontal para cada côvado de altura — a inclinação da face, uma cotangente.
Os ternos pitagóricos tiveram uma descendência famosa. Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de seu exemplar da Aritmética de Diofanto, justamente ao lado do problema dos ternos, que $x^n + y^n = z^n$ não tem solução em inteiros positivos para $n > 2$. A demonstração só veio em 1994, com Andrew Wiles.
No dia a dia
- Esquadros. Os dois esquadros do desenho técnico têm ângulos de 45° e de 30° e 60°: são metades de um quadrado e de um triângulo equilátero.
- Altura de prédios. Com um medidor de ângulos e a distância até a base, a altura sai da tangente: $\text{altura} = d \cdot \operatorname{tg}\alpha$.
- Rampas. A inclinação máxima de uma rampa de acessibilidade é dada pela razão entre altura e comprimento horizontal — uma tangente.
- Telhas e telhados. A “porcentagem” de inclinação de um telhado é a tangente do ângulo multiplicada por 100.
Fontes: YBC 7289 e a raiz de 2 (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor) · Fermat (MacTutor).
Teoria e construções
Diagonal do quadrado
PropriedadeDiagonal do quadrado
A diagonal $d$ de um quadrado de lado $a$ mede
$$d = a\sqrt{2}.$$Ver a dedução
No quadrado $ABCD$ de lado $a$, o triângulo $ABC$ é retângulo em $B$. Pelo teorema de Pitágoras: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, logo $d = a\sqrt{2}$.
Altura do triângulo equilátero
PropriedadeAltura do triângulo equilátero
A altura $h$ de um triângulo equilátero de lado $a$ mede
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$Ver a dedução
No triângulo equilátero $ABC$, a altura $\overline{AM}$ cai no ponto médio $M$ de $\overline{BC}$. No triângulo retângulo $AMC$: $h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2$, logo $h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}$ e $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°
DefiniçãoRazões trigonométricas
Sendo $\alpha$ a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo:
$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \cos\alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$Como todos os triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo $\alpha$ são semelhantes, essas razões dependem só de $\alpha$.
Na metade de um quadrado (triângulo retângulo isósceles de catetos $a$ e hipotenusa $a\sqrt2$) e na metade de um triângulo equilátero (hipotenusa $a$, catetos $\tfrac{a}{2}$ e $\tfrac{a\sqrt3}{2}$), as razões ficam:
ResumoTabela dos ângulos notáveis
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| seno | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| cosseno | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| tangente | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
Triângulos pitagóricos
Triângulos retângulos com os três lados medidos por números inteiros são chamados pitagóricos. Tomando um cateto $b = 2xy$ e o outro $c = x^2 - y^2$:
$$a^2 = (2xy)^2 + (x^2 - y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 \;\Rightarrow\; a = x^2 + y^2.$$PropriedadeTernos pitagóricos
Para $x$ e $y$ inteiros, $x > y$, os números $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$ são os lados de um triângulo retângulo. Com $x$ e $y$ primos entre si e um deles par, obtêm-se os ternos primitivos:
| $x$ | $y$ | $x^2 - y^2$ | $2xy$ | $x^2 + y^2$ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
Os triângulos dados pelos ternos (3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)… são semelhantes entre si; o mesmo vale para (5, 12, 13), (10, 24, 26), (15, 36, 39)… e para (8, 15, 17), (16, 30, 34), (24, 45, 51)…