Os ternos pitagóricos são importantes em construções arquitetônicas, que despertaram interesses dos gregos. Elas foram de extrema importância, que graças a ela temos uma das arquiteturas mais belas e duradouras, que resistem até hoje.

Os ternos pitagóricos

Inicialmente vamos definir o que é o terno pitagórico.

Definição (Terno Pitagórico): é qualquer conjunto de números naturais $x,y$ e $z$ (ternos) tais que:

$$x^2 + y^2 = z^2$$

Esta definição foi usada por Euclides em Alexandria, que usava conceitos do teorema de Pitágoras, que corresponde os triângulo retângulo:

Vale lembrar que os sumérios conheciam o teorema de Pitágoras, muito antes do autor mais conhecido. Eles conheciam a relação mais comum da época, que o terno $(x,y.z) = (3,4,5)$ dada por:

$$3^2+ 4^2 = 5^2$$

Porém, só Pitágoras provou que existem os ternos de números naturais $(x,y,z)$ tais que $x^2 + y^2 = z^2$

Teorema de Pitágoras e o Triângulo Retângulo

Na introdução deste livro, iniciamos os conceitos de lado do quadrado. O nosso radix quadratum.

Triângulo Retângulo.

Da figura, notamos que temos área de quadrados, que na matemática atual é lado $\times$ lado.

Exemplo 1:

$$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$

$$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$

$$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$

$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

Exemplo 2:

$$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$

$$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$

$$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$

$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

Ao generalizarmos o conceito, temos o Teorema de Pitágoras.

Triângulo Retângulo.

O quadrado (quadratum) de lado (latus) a mais (et) o quadrado (quadratum) de lado (latus) b é igual (aequalis) ao quadrado (quadratum) de lado (latus) c.

Pitágoras

Portal da Catedral de Nossa Senhora de Chartres

Catedral de Nossa Senhora de Chartres Escultura de Pitágoras
Triângulo Retângulo. Triângulo Retângulo.

Aplicações do Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é tão importante que vemos nos manuscritos árabes e chineses confirme figura a seguir.

Triângulo Retângulo. Triângulo Retângulo.

Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo pela derivação do nome, tem um dos ângulos reto, isto é, dois dados do triângulo são perpendiculares, como em dois dados de um quadrado. A seguir, conforme história apresentamos os nomes impostos a força pelos livros didáticos.

Triângulo Retângulo.

O que conhecemos como Catetos representam aquile que é perpendicular ⊥, já o que conhecemos como Hipotenusa é aquilo que está abaixo de duas retas perpendiculares (esticado).

Triângulo Retângulo.

Triângulo Equilátero

O triângulo equilátero pode ser derivados das palavras equi (iguais) látero (lados) e pode ser obtido a partir de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo é metade (½) de um triângulo equilátero.

Do triângulo retângulo notamos que a hipotenusa do exemplo a seguir tem distância a, um dos catetos tem distância h e o outro cateto a/2. Conforme figura a seguir:

Triângulo Retângulo.

Ao desdobrarmos o triângulo retângulo, obtemos o triângulo equilátero (3 lados iguais) a seguir.

Tabua.

Exemplo 1:

$$ \begin{aligned} h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a\\ h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 4~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 3~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \end{aligned} $$

Triângulo Retângulo.

Com isso, obtemos:

$$h= \frac{a}{2}~.~\text{radix}~ 3$$

Exemplo 2:

$$ \begin{aligned} \text{radix}4~.~\text{radix}4 &= 4\\ \sqrt{4}~.~\sqrt{4} &= 4\\ \sqrt{4~.~4} &= 4\\ \sqrt{16} &= 4 \end{aligned} $$

Exemplo 3:

$$ \begin{aligned} \text{radix}5~.~\text{radix}5 &= 5\\ \sqrt{5}~.~\sqrt{5} &= 5\\ \sqrt{5~.~5} &= 5\\ \sqrt{25} &= 5 \end{aligned} $$

Portanto:

radix quadratum 9 aequalis 3

$$\sqrt{9} = 3$$

Teorema de Fermat

Pierre de Fermat francês, advogado e conselheiro do Parlamento de Toulouse.

Fermat era um execelente matemático, porém, amador e em uma de suas correspondêcias com outros estudiosos começou a estudar a teoria dos números baseado nos escritos de Diofanto de Alexandria.

Muitos historiadores dizem que Fermat fazia anotações inspiradas nos estudos de Diofanto. Ele enunciava teoremas sem apresentar demonstrações.

Seus filhos publicaram muitos artigos de Fermat, após sua morte em 1665. Muitos dos teoremas propostos por Fermat foram demonstrados por matemáticos que viveram logo após ele. O mais famoso deles é o autor que vos fala, Euler.

Em particular o teorema de Fermat enunciado a seguir, foi o mais difícil e durou 350 anos sem uma demonstração formal.

Último Teorema de Fermat: Para tod número natural com $n$ maior ou igual a 3 $(n\geq 3)$ não existe solução para a equação:

$$x^n + y^n = z^n, \qquad \text{para x, y, z números naturais.}$$

Em um canto de seu livro de Arithmetica, referenciou o livro de Diofanto sobre os ternos pitagóricos, enunciou da seguinte forma:

“Dividir um cubo em dois cubos, uma quarta potência em duas quartas potências, e em geral uma potência acima da quadrada em duas do mesmo tipo, é impossível: encontrei uma demonstração maravilhosa deste fato. Esta margem é muito pequena para contê-la.”

Este resultado foi demonstrado por Andrew Wiles em 1994 e requer matemática extremamente sofisticada e não cabe a este post reproduzir esta enorme e elegante demonstração. A maioria dos historiadores acreditam que ele se enganou, mas muito pelo contrário.

Estes são os conceitos dos ternos pitagóricos. Aguardem os próximos posts.