Arco seno, arco cosseno e arco tangente (capítulo VII).
Teste 158MACK-74
Sejam $f$, $g$ e $h$ funções de $A$ em $A$, onde $A = [-1, 1]$, assim definidas: $f(x) = \operatorname{sen} x$, $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$, $h(x) = \frac{\pi}{2}x$. Podemos afirmar que:
$f$ (seno em $[-1, 1]$) é injetora, com imagem $[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$; $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ tem imagem $[-1, 1]$ (sobrejetora), mas não é injetora ($g(0) = g(1) = 0$); $h$ é injetora e sua imagem $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ nem cabe em $A$. Só $g$ é sobrejetora. O gabarito impresso indica (e), mas nenhuma das três é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora de $A$ em $A$; a afirmação verdadeira é (d).
Teste 159MACK-73
O domínio da função definida por $y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$ é:
A raiz exige $2x - 3 \ge 0$ e o arco seno exige $\sqrt{2x - 3} \le 1$: $0 \le 2x - 3 \le 1$, isto é, $\frac{3}{2} \le x \le 2$.
Teste 160MACK-77
O valor de $\operatorname{arc\,sen}\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right)$ é:
$\cos\frac{33\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{5} = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right) = \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{10}\right)$, e $-\frac{\pi}{10}$ está em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
Teste 161MACK-74
O valor de $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ é:
$\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ e $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
Teste 162PUC-71
Estando as determinações dos arcos compreendidas entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$, o valor da expressão $y = \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{1 + a^2} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{1}{1 + a^2}\right)$ é:
Para todo $u \in [-1, 1]$, $\operatorname{arc\,sen} u + \operatorname{arc\,cos} u = \frac{\pi}{2}$; então $y = \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$.
Teste 163ITA-72
Para todo $\alpha$ e $\beta$, com $|\beta| < 1$, a expressão $\operatorname{tg}(\operatorname{arc\,tg}\alpha + \operatorname{arc\,sen}\beta)$ é igual a:
Com $\operatorname{tg} A = \alpha$ e $\operatorname{tg} B = \frac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^2}}$: $\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\alpha\sqrt{1 - \beta^2} + \beta}{\sqrt{1 - \beta^2} - \alpha\beta}$, que não aparece. O gabarito impresso indica (a), mas ela falha, por exemplo, para $\alpha = 1$, $\beta = 0$: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, enquanto (a) dá $-1$.
Teste 164PUC-70
$2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}$ é igual a:
É o exercício 269: $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$ e $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}\right) = \frac{3/4 + 1/7}{1 - 3/28} = 1$, com a soma entre 0 e $\frac{\pi}{2}$.
Teste 165LINS-67
Admitindo a variação de $\operatorname{arc\,sen} x$ no intervalo fechado $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, a solução da equação $\operatorname{arc\,sen} x = 2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2}$ é:
$2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, e $\operatorname{arc\,sen} x = \frac{\pi}{3} \iff x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, que não aparece nas alternativas.
Teste 166MACK-75
O conjunto solução de $\operatorname{arc\,sen} 2x - 3\operatorname{arc\,sen} x = 0$ tem:
Com $\theta = \operatorname{arc\,sen} x$: é preciso $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $2x = \operatorname{sen} 3\theta = 3x - 4x^3$, isto é, $x(1 - 4x^2) = 0$. As três raízes $0$ e $\pm\frac{1}{2}$ servem ($\theta = \pm\frac{\pi}{6}$ dá $3\theta = \pm\frac{\pi}{2} = \operatorname{arc\,sen}(\pm 1)$).
Consideremos a equação $[\log_e(\operatorname{sen} x)]^2 - \log_e(\operatorname{sen} x) - 6 = 0$. A(s) solução(ões) da equação é(são) dada(s) por:
Com $L = \log_e(\operatorname{sen} x)$: $L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3$ ou $L = -2$. Como $\operatorname{sen} x \le 1$, $L \le 0$; resta $\operatorname{sen} x = e^{-2}$, isto é, $x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{e^2}$ (a menos dos arcos com o mesmo seno).
$\operatorname{tg} x_1 = \sqrt{3} = 3^{1/2}$ e cada tangente é a raiz quadrada da anterior: $\operatorname{tg} x_n = 3^{1/2^n}$. Então $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$.
Teste 171ITA-72
Consideremos a função $S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\operatorname{sen} x)^n$, onde $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Para que valores de $x$ temos $10 \le S(x) \le 20$?
Com $s = \operatorname{sen} x \in\, ]0, 1[$, a série geométrica soma $S = \frac{s}{1 - s}$. $10 \le \frac{s}{1 - s} \le 20 \iff \frac{10}{11} \le s \le \frac{20}{21}$, e como o arco seno é crescente, obtemos (c).
