Euler's Eyes
2026-10-11
Propriedades dos trapézios
O trapézio tem um par de lados paralelos — e é a forma escondida em muitas rampas, telhados e bolsas.
Quem descobriu
O sentido moderno da palavra vem de Posidônio (século I a.C.) e de Proclo (século V d.C.): este registra que Posidônio separava os quadriláteros com um par de lados paralelos dos que não tinham nenhum. Para Euclides, trapézio era qualquer quadrilátero que não fosse quadrado, retângulo, losango ou paralelogramo. A área do trapézio — a média das bases vezes a altura — aparece nas obras de Heron de Alexandria (século I d.C.).
A história
A mesma ideia de média das bases está num método que chegou ao cálculo moderno: a regra dos trapézios, que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em faixas trapezoidais. Ela é usada em engenharia e em computadores para calcular áreas que não têm fórmula simples.
Em 2016, o historiador Mathieu Ossendrijver mostrou que astrônomos babilônios, entre 350 e 50 a.C., já usavam trapézios para calcular a distância percorrida por Júpiter no céu — um raciocínio que a Europa só reencontraria no século XIV.
No dia a dia
- Canais e valas. A seção transversal de canais de irrigação é trapezoidal, para que as margens inclinadas não desmoronem.
- Telhados e frontões. As águas laterais de muitos telhados são trapézios.
- Degraus e rampas. O perfil lateral de uma rampa com patamar forma um trapézio.
- Área de terrenos irregulares. Topógrafos dividem um terreno em faixas e somam as áreas de trapézios, como na regra dos trapézios.
Fontes: Proclo (MacTutor) · Heron de Alexandria (MacTutor) · Ossendrijver, Science (2016).
Teoria e construções
PropriedadeTrapézio qualquer
Em qualquer trapézio $ABCD$ de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$, os ângulos adjacentes a cada lado não base são suplementares: $\hat{A} + \hat{D} = \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$ (colaterais internos entre paralelas).
TeoremaTrapézio isósceles
- Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes: $\hat{C} \equiv \hat{D}$ e $\hat{A} \equiv \hat{B}$.
- As projeções dos lados não bases sobre a base maior são congruentes.
- As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Ver as demonstrações
- Pelos vértices $A$ e $B$ da base menor, traçamos perpendiculares à base maior, com pés $A^{\prime}$ e $B^{\prime}$. Temos $AA^{\prime} = BB^{\prime}$ (distância entre paralelas). Os triângulos retângulos $AA^{\prime}D$ e $BB^{\prime}C$ são congruentes pelo caso especial (cateto e hipotenusa $AD = BC$), logo $\hat{C} \equiv \hat{D}$ e $A^{\prime}D = B^{\prime}C$. Como $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são suplementares de $\hat{D}$ e $\hat{C}$, também $\hat{A} \equiv \hat{B}$.
- Nos triângulos $ADC$ e $BCD$: $AD = BC$, $\hat{D} \equiv \hat{C}$ e $\overline{DC}$ comum. Por LAL, são congruentes e $AC = BD$. Daí também $A\hat{C}D \equiv B\hat{D}C$: os triângulos $PCD$ e $PAB$ ($P$ = encontro das diagonais) são isósceles.
