Do nada, criei um universo novo e estranho.

— János Bolyai, carta ao pai (3 de novembro de 1823)

Os quatro primeiros postulados de Euclides são curtos e evidentes: traçar uma reta, prolongá-la, desenhar um círculo, todos os ângulos retos são iguais. O quinto é diferente:

Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

É comprido, e fala de algo que ninguém pode verificar: o que acontece com duas retas prolongadas indefinidamente. Euclides parece ter desconfiado dele também: evitou usá-lo enquanto pôde, e só o invoca pela primeira vez na Proposição I.29.

A forma de Playfair

Há uma versão mais fácil de lembrar, divulgada pelo escocês John Playfair em 1795: por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela a ela. Com os outros postulados, as duas formas são equivalentes: quem aceita uma tem de aceitar a outra.

Os ângulos do triângulo

A consequência mais famosa do quinto postulado é a Proposição I.32: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois retos, $180°$. O antigo curso de trigonometria deste site a chamava de primeiro cânone:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$

A prova: pelo vértice $C$ do triângulo $ABC$, trace a paralela à base $AB$. Os ângulos que essa paralela forma com os lados $CA$ e $CB$ são iguais aos ângulos $\alpha$ e $\beta$ do triângulo, porque são alternos internos (I.29). Junto com o ângulo $\gamma$, os três ficam lado a lado sobre a paralela e formam um ângulo raso, $180°$. O passo em que os ângulos alternos são iguais é exatamente onde entra o quinto postulado.

Dois mil anos tentando provar

Durante dois milênios, os matemáticos acharam que o quinto postulado não devia ser um postulado, e sim um teorema: deveria ser possível prová-lo a partir dos outros quatro. Tentaram Ptolomeu, Proclo, o persa Omar Khayyam, o também persa Nasir al-Din al-Tusi, o inglês John Wallis. Todos falharam: cada “prova” usava, escondida, alguma suposição equivalente ao próprio postulado.

Em 1733, o padre jesuíta Girolamo Saccheri tentou outro caminho: supor que o postulado é falso e chegar a uma contradição. Deduziu dezenas de teoremas estranhos, como triângulos cuja soma de ângulos é menor que $180°$. Não encontrou contradição nenhuma, mas, convencido de que ela tinha de existir, declarou que os resultados eram “repugnantes à natureza da reta” e publicou o livro com o título Euclides livre de toda mancha. Estava a um passo de uma descoberta e não a viu.

A geometria nova

No começo do século XIX, três pessoas, independentemente, deram o passo que faltava: aceitar que a geometria sem o quinto postulado é tão consistente quanto a de Euclides. Gauss chegou a isso por volta de 1820, mas não publicou, com medo da reação. O russo Nikolai Lobachevsky publicou em 1829, numa revista da Universidade de Kazan. O húngaro János Bolyai, filho de um matemático, publicou em 1832, num apêndice ao livro do pai.

O pai de Bolyai, Farkas, tinha passado a vida tentando provar o quinto postulado. Quando soube que o filho estava no mesmo caminho, escreveu-lhe implorando que desistisse: “Pelo amor de Deus, deixe as paralelas em paz. Abomine-as como a uma paixão indecente; elas podem lhe roubar todo o seu tempo, a sua saúde, a sua tranquilidade e a felicidade da sua vida.” János não desistiu, e em 1823 respondeu com a frase que abre este texto.

Nessa geometria hiperbólica, por um ponto fora de uma reta passam infinitas paralelas, e a soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor que $180°$. Quanto maior o triângulo, menor a soma.

A geometria da esfera

Há também o caso contrário. Na superfície de uma esfera, as “retas”, os caminhos mais curtos, são os grandes círculos, como o equador e os meridianos. Dois grandes círculos sempre se cruzam: não há paralelas. Tome um triângulo formado pelo equador e por dois meridianos que saem do polo norte separados por $90°$. Os três ângulos são retos, e a soma é

$$90°+90°+90°=270°.$$

Na esfera, a soma dos ângulos de um triângulo é sempre maior que $180°$, e o excesso é proporcional à área do triângulo. Para triângulos pequenos, como um terreno ou uma sala, a diferença é imperceptível, e é por isso que a geometria de Euclides funciona tão bem na Terra. Os pilotos de avião, que voam por arcos de grandes círculos, precisam da outra.

Exercício: num triângulo euclidiano, dois ângulos medem 47° e 68°. Qual é o terceiro?

$180°-47°-68°=65°$. Em geometria esférica a resposta dependeria do tamanho do triângulo; em geometria hiperbólica, também.

Exercício: na esfera, o excesso de um triângulo é proporcional à sua área: área = R² × excesso, com o excesso em radianos. Que fração da superfície da Terra ocupa o triângulo de três ângulos retos?

O excesso é $270°-180°=90°=\frac\pi2$ radianos, então a área é $\frac\pi2R^2$. A superfície da esfera é $4\pi R^2$, e a fração é $\frac{\pi/2}{4\pi}=\frac18$. Faz sentido: o equador e dois meridianos separados por $90°$ cortam o hemisfério norte em quatro partes iguais, e cada uma é um oitavo da Terra.

Fontes: Elementos, quinto postulado e Proposição I.32, edição de D. E. Joyce · Roberto Bonola, Non-Euclidean Geometry (Dover, 1955) · Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford, 1989).

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